Для того чтобы понять задачу, давайте разберем функцию ( f(x) = 2x \cdot \sin(5x) ) и подставим ( x_0 = \frac{\pi}{2} ).
Шаг 1: Подстановка значения ( x_0 )
Начнем с подстановки ( x_0 ) в нашу функцию:
[
f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \sin\left(5 \cdot \frac{\pi}{2}\right)
]
Шаг 2: Упрощение
Теперь упростим выражение:
- ( 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi )
- Теперь вычислим ( \sin\left(5 \cdot \frac{\pi}{2}\right) ). Зная, что ( \sin) имеет период ( 2\pi), можем упростить аргумент:
[
5 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}
]
Так как ( \sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 ).
Шаг 3: Подсчет значения функции
Теперь подставим это значение обратно в выражение:
[
f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \pi \cdot 1 = \pi
]
Итог
Таким образом, значение функции ( f(x) ) при ( x = \frac{\pi}{2} ) равно ( \pi ).
Заключение
Функция ( f(x) = 2x \cdot \sin(5x) ) при ( x = \frac{\pi}{2} ) дает результат ( f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \pi ). Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как можно работать с тригонометрическими функциями и подстановками! Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно объяснить что-то другое, не стесняйтесь спрашивать!
