Чтобы определить, когда векторы (\mathbf{a} = (5m+3, 4, -2)) и (\mathbf{b} = (-4, 7n-3, 4)) коллинеарны, нам нужно понять, что векторы коллинеарны, если один из них является скалярным произведением другого. Это означает, что существуют такие скаляры (k), что:
[
\mathbf{a} = k \cdot \mathbf{b}
]
Либо можно рассмотреть пропорции их компонент:
[
\frac{5m+3}{-4} = \frac{4}{7n-3} = \frac{-2}{4}
]
Рассмотрим каждую из этих пропорций по отдельности.
Шаг 1: Решим первую пропорцию
Сначала рассмотрим:
[
\frac{5m+3}{-4} = \frac{-2}{4}
]
Упростим правую сторону:
[
\frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}
]
Теперь можем записать уравнение:
[
\frac{5m+3}{-4} = -\frac{1}{2}
]
Перемножим обе стороны на (-4):
[
5m + 3 = 2
]
Вычтем 3 из обеих сторон:
[
5m = 2 - 3
]
Таким образом:
[
5m = -1
]
И, следовательно:
[
m = -\frac{1}{5}
]
Шаг 2: Решим вторую пропорцию
Теперь рассмотрим:
[
\frac{4}{7n-3} = -\frac{1}{2}
]
Перемножим кросс-умножением:
[
4 \cdot (-2) = 1 \cdot (7n - 3)
]
Это дает:
[
-8 = 7n - 3
]
Теперь добавим 3 к обеим сторонам:
[
-8 + 3 = 7n
]
И:
[
-5 = 7n
]
Решая для (n), получаем:
[
n = -\frac{5}{7}
]
Итог
Таким образом, векторы (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}) коллинеарны при следующих значениях:
[
m = -\frac{1}{5}, \quad n = -\frac{5}{7}
]
Это и есть ответ. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужны уточнения, не стесняйтесь спрашивать!
