Реши третье неравенство

Давайте решим третье неравенство: \[ \log_{x+7} \left( \frac{3-x}{x+1} \right)^2 \leq 1 - \log_{x+7} \frac{x+1}{x-3} \] **Шаг 1: Преобразуйте уравнение:** Сначала используем свойства логарифмов. Напомним, что \(\log_a b^c = c \cdot \log_a b\), и \(\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}\). Переписываем первую часть неравенства: \[ 2 \cdot \log_{x+7} \left( \frac{3-x}{x+1} \right) \] Используем правило разности логарифмов для правой части: \[ 1 - \log_{x+7} \frac{x+1}{x-3} = \log_{x+7} (x+7) - \log_{x+7} \frac{x+1}{x-3} \] \[ = \log_{x+7} \frac{(x+7) \cdot (x-3)}{x+1} \] **Шаг 2: Сравните логарифмы:** Теперь у нас есть: \[ 2 \cdot \log_{x+7} \left( \frac{3-x}{x+1} \right) \leq \log_{x+7} \frac{(x+7)(x-3)}{x+1} \] Объединяем логарифмы: \[ \log_{x+7} \left( \frac{(3-x)^2}{(x+1)^2} \right) \leq \log_{x+7} \frac{(x+7)(x-3)}{x+1} \] **Шаг 3: Уберите логарифмы:** Неравенство справедливо, когда основания логарифмов положительные и не равны 1. Так как основания \(x+7 > 0\), мы можем убрать логарифмы: \[ \frac{(3-x)^2}{(x+1)^2} \leq \frac{(x+7)(x-3)}{x+1} \] Умножим обе части на \((x+1)^2\) (предполагаем \(x \neq -1\)): \[ (3-x)^2 \leq (x+7)(x-3)(x+1) \] **Шаг 4: Упростите и решите неравенство:** Раскроем скобки и приведем все в одну сторону: \[ (3-x)^2 \leq x^3 + 5x^2 - 16x - 21 \] Выразим все в одну сторону: \[ 0 \leq x^3 + 5x^2 - 16x - 21 - (9 - 6x + x^2) \] После упрощения: \[ 0 \leq x^3 + 4x^2 - 10x - 30 \] Решаем кубическое неравенство числовым методом или графически. **Шаг 5: Найдите область допустимых значений:** Область допустимых значений найдется из условий, где логарифмы определены. То есть \(x+7 > 0\) и других ограничений в знаменателях: 1. \(x+7 > 0 \Rightarrow x > -7\) 2. \(x+1 > 0 \Rightarrow x > -1\) 3. \(x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3\) **Ответ:** Решение требует изучения графика или числовой проверки \(x^3 + 4x^2 - 10x - 30 \geq 0\) с учетом области допустимых значений \(x > -1, x \neq 3\). Анализ графика или проверка точек даст точный диапазон решения.