найдите значение производной функции в точке x0: 1) y= 3cosx+x/2, x0=2π 2) y= 4x³+6x-11, x0= -1/4
Для нахождения значения производной функции в точке \( x_0 \), сначала необходимо найти производную функции, а затем подставить значение \( x_0 \) в найденную производную.
1) \( y = 3\cos x + \frac{x}{2} \) при \( x_0 = 2\pi \)
Шаг 1: Найти производную функции \( y \).
Чтобы найти производную \( y' \), используем правила дифференцирования:
- Производная \( \cos x \) равна \( -\sin x \).
- Производная \( \frac{x}{2} \) равна \( \frac{1}{2} \).
Теперь применим эти правила:
\[ \frac{dy}{dx} = 3 \cdot (-\sin x) + \frac{1}{2} = -3\sin x + \frac{1}{2} \]
Шаг 2: Подставить \( x_0 = 2\pi \) в производную.
Теперь подставим \( x = 2\pi \):
\[ y'(2\pi) = -3\sin(2\pi) + \frac{1}{2} \]
Значение \( \sin(2\pi) = 0 \):
\[ y'(2\pi) = -3 \cdot 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]
Ответ: Значение производной функции \( y = 3\cos x + \frac{x}{2} \) в точке \( x_0 = 2\pi \) равно \( \frac{1}{2} \).
2) \( y = 4x^3 + 6x - 11 \) при \( x_0 = -\frac{1}{4} \)
Шаг 1: Найти производную функции \( y \).
Используя правила дифференцирования, мы находим:
- Производная \( 4x^3 \) равна \( 12x^2 \).
- Производная \( 6x \) равна \( 6 \).
- Производная константы \( -11 \) равна \( 0 \).
Таким образом,
\[ \frac{dy}{dx} = 12x^2 + 6 \]
Шаг 2: Подставить \( x_0 = -\frac{1}{4} \) в производную.
Теперь подставим \( x = -\frac{1}{4} \):
\[ y'\left(-\frac{1}{4}\right) = 12\left(-\frac{1}{4}\right)^2 + 6 \]
Сначала вычислим \( \left(-\frac{1}{4}\right)^2 \):
\[ \left(-\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} \]
Теперь подставим:
\[ y'\left(-\frac{1}{4}\right) = 12 \cdot \frac{1}{16} + 6 = \frac{12}{16} + 6 = \frac{3}{4} + 6 \]
Чтобы сложить, преобразуем \( 6 \) в дробь:
\[ 6 = \frac{24}{4} \]
Так что:
\[ y'\left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{3}{4} + \frac{24}{4} = \frac{27}{4} \]
Ответ: Значение производной функции \( y = 4x^3 + 6x - 11 \) в точке \( x_0 = -\frac{1}{4} \) равно \( \frac{27}{4} \).
