Найдите значение производной функции в точке x0: 1) y= 3cosx+x/2, x0=2π 2) y= 4x³+6x-11, x0= -1/4

Для нахождения значения производной функции в точке \( x_0 \), сначала необходимо найти производную функции, а затем подставить значение \( x_0 \) в найденную производную. ### 1) \( y = 3\cos x + \frac{x}{2} \) при \( x_0 = 2\pi \) **Шаг 1: Найти производную функции \( y \).** Чтобы найти производную \( y' \), используем правила дифференцирования: - Производная \( \cos x \) равна \( -\sin x \). - Производная \( \frac{x}{2} \) равна \( \frac{1}{2} \). Теперь применим эти правила: \[ \frac{dy}{dx} = 3 \cdot (-\sin x) + \frac{1}{2} = -3\sin x + \frac{1}{2} \] **Шаг 2: Подставить \( x_0 = 2\pi \) в производную.** Теперь подставим \( x = 2\pi \): \[ y'(2\pi) = -3\sin(2\pi) + \frac{1}{2} \] Значение \( \sin(2\pi) = 0 \): \[ y'(2\pi) = -3 \cdot 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \] **Ответ:** Значение производной функции \( y = 3\cos x + \frac{x}{2} \) в точке \( x_0 = 2\pi \) равно \( \frac{1}{2} \). --- ### 2) \( y = 4x^3 + 6x - 11 \) при \( x_0 = -\frac{1}{4} \) **Шаг 1: Найти производную функции \( y \).** Используя правила дифференцирования, мы находим: - Производная \( 4x^3 \) равна \( 12x^2 \). - Производная \( 6x \) равна \( 6 \). - Производная константы \( -11 \) равна \( 0 \). Таким образом, \[ \frac{dy}{dx} = 12x^2 + 6 \] **Шаг 2: Подставить \( x_0 = -\frac{1}{4} \) в производную.** Теперь подставим \( x = -\frac{1}{4} \): \[ y'\left(-\frac{1}{4}\right) = 12\left(-\frac{1}{4}\right)^2 + 6 \] Сначала вычислим \( \left(-\frac{1}{4}\right)^2 \): \[ \left(-\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} \] Теперь подставим: \[ y'\left(-\frac{1}{4}\right) = 12 \cdot \frac{1}{16} + 6 = \frac{12}{16} + 6 = \frac{3}{4} + 6 \] Чтобы сложить, преобразуем \( 6 \) в дробь: \[ 6 = \frac{24}{4} \] Так что: \[ y'\left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{3}{4} + \frac{24}{4} = \frac{27}{4} \] **Ответ:** Значение производной функции \( y = 4x^3 + 6x - 11 \) в точке \( x_0 = -\frac{1}{4} \) равно \( \frac{27}{4} \).