реши
Конечно! Рассмотрим первую систему уравнений:
\[ \begin{cases} xy = 12 \\ y = 7 - x \end{cases} \]
Шаг 1: Подставим выражение для \(y\) из второго уравнения во первое уравнение.
\[ x(7 - x) = 12 \]
Шаг 2: Раскроем скобки.
\[ 7x - x^2 = 12 \]
Шаг 3: Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение.
\[ -x^2 + 7x - 12 = 0 \]
Или же:
\[ x^2 - 7x + 12 = 0 \]
Шаг 4: Найдем корни квадратного уравнения. Для этого используем формулу:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Где \(a = 1\), \(b = -7\), \(c = 12\).
Посчитаем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 \]
Теперь найдем корни:
\[ x_1 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]
\[ x_2 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
Шаг 5: Найдем соответствующие значения \(y\) для каждого \(x\).
Если \(x = 4\):
\[ y = 7 - x = 7 - 4 = 3 \]
Если \(x = 3\):
\[ y = 7 - x = 7 - 3 = 4 \]
Таким образом, система уравнений имеет два решения:
- \((x, y) = (4, 3)\)
- \((x, y) = (3, 4)\)
Теперь разберем вторую систему:
\[ \begin{cases} xy = 5 \\ x - y = 4 \end{cases} \]
Шаг 1: Выразим \(x\) из второго уравнения.
\[ x = y + 4 \]
Шаг 2: Подставим в первое уравнение.
\[ (y + 4)y = 5 \]
\[ y^2 + 4y = 5 \]
Шаг 3: Переносим все члены в одну сторону:
\[ y^2 + 4y - 5 = 0 \]
Шаг 4: Найдем корни уравнения:
\[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \]
\[ y_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
\[ y_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]
Шаг 5: Найдем \(x\) для каждого \(y\).
Если \(y = 1\):
\[ x = y + 4 = 1 + 4 = 5 \]
Если \(y = -5\):
\[ x = y + 4 = -5 + 4 = -1 \]
Таким образом, система уравнений имеет два решения:
- \((x, y) = (5, 1)\)
- \((x, y) = (-1, -5)\)
