X⁵(x-6)³(x+2)⁴(x-3)²>0

Чтобы решить неравенство \(x^5(x-6)^3(x+2)^4(x-3)^2 > 0\), будем следовать по этапам. Мы найдем корни, определим интервалы и проанализируем знак произведения. ### Шаг 1: Найти корни Неравенство содержит следующие множители: 1. \(x^5\) — корень в \(x = 0\) (степень 5, значит, изменяет знак при переходе через 0). 2. \((x-6)^3\) — корень в \(x = 6\) (степень 3, меняет знак). 3. \((x+2)^4\) — корень в \(x = -2\) (степень 4, не меняет знак). 4. \((x-3)^2\) — корень в \(x = 3\) (степень 2, не меняет знак). Таким образом, корни функции: - \(x = -2\) - \(x = 0\) - \(x = 3\) - \(x = 6\) ### Шаг 2: Определить интервалы Теперь определим интервалы, которые определяются корнями: - \((- \infty, -2)\) - \((-2, 0)\) - \((0, 3)\) - \((3, 6)\) - \((6, +\infty)\) ### Шаг 3: Определить знак произведения на каждом интервале Теперь проверим знак выражения \(x^5(x-6)^3(x+2)^4(x-3)^2\) на каждом из этих интервалов, подставляя тестовые значения. 1. **Для интервала \((- \infty, -2)\)**: Пусть \(x = -3\): \[ (-3)^5 > 0,\; (-3-6)^3 < 0,\; (-3+2)^4 > 0,\; (-3-3)^2 > 0 \implies \text{Знак: } - \] 2. **Для интервала \((-2, 0)\)**: Пусть \(x = -1\): \[ (-1)^5 < 0,\; (-1-6)^3 < 0,\; (-1+2)^4 > 0,\; (-1-3)^2 > 0 \implies \text{Знак: } + \] 3. **Для интервала \((0, 3)\)**: Пусть \(x = 1\): \[ 1^5 > 0,\; (1-6)^3 < 0,\; (1+2)^4 > 0,\; (1-3)^2 > 0 \implies \text{Знак: } - \] 4. **Для интервала \((3, 6)\)**: Пусть \(x = 4\): \[ 4^5 > 0,\; (4-6)^3 < 0,\; (4+2)^4 > 0,\; (4-3)^2 > 0 \implies \text{Знак: } - \] 5. **Для интервала \((6, +\infty)\)**: Пусть \(x = 7\): \[ 7^5 > 0,\; (7-6)^3 > 0,\; (7+2)^4 > 0,\; (7-3)^2 > 0 \implies \text{Знак: } + \] ### Шаг 4: Составляем ответ Итак, мы определили знаки на интервалах: - \((- \infty, -2)\) — отрицательный - \((-2, 0)\) — положительный - \((0, 3)\) — отрицательный - \((3, 6)\) — отрицательный - \((6, +\infty)\) — положительный Теперь можем заключить, что неравенство \(x^5(x-6)^3(x+2)^4(x-3)^2 > 0\) выполняется на интервалах \((-2, 0)\) и \((6, +\infty)\). ### Шаг 5: Запишите окончательный ответ Таким образом, решением неравенства является: \[ \boxed{(-2, 0) \cup (6, +\infty)} \] ### Объяснение Мы проверили каждый из интервалов и определили, где произведение является положительным. Не забывайте, что корни с четными степенями не меняют знак перехода, а с нечетными — меняют.