y = 30x²+40/ ( x²-4)³

Для того чтобы понять задание, давайте разберем данную функцию \( y = \frac{30x^2 + 40}{(x^2 - 4)^3} \).

1. Понимание функции

Эта функция представляет собой дробь, где:

• Числитель: \( 30x^2 + 40 \)
• Знаменатель: \( (x^2 - 4)^3 \)

2. Анализ числителя и знаменателя

Числитель: \( 30x^2 + 40 \)

• Это квадратный трехчлен (или полином второй степени). Мы можем выделить общий множитель: \[ 30x^2 + 40 = 10(3x^2 + 4) \]
• Он всегда положителен, так как \( 3x^2 + 4 > 0 \) для всех действительных \( x \).

Знаменатель: \( (x^2 - 4)^3 \)

• Знаменатель — это куб выражения \( x^2 - 4 \). Данное выражение можно разложить на множители: \[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \]
• Таким образом, знаменатель становится: \[ (x^2 - 4)^3 = [(x - 2)(x + 2)]^3 = (x - 2)^3(x + 2)^3 \]

3. Определение точек, где функция не определена

Функция не определена в тех точках, где знаменатель равен нулю: \[ (x - 2)^3(x + 2)^3 = 0 \] Это происходит при \( x = 2 \) и \( x = -2 \).

4. Определение значений функции

Теперь мы можем выяснить, как функция себя ведет при различных \( x \):

• При \( x < -2 \) и \( x > 2 \):

  • Знаменатель положителен, поскольку куб любых положительных/отрицательных чисел остается положительным/отрицательным.
  • Числитель также положителен.
  • Следовательно, функция положительна.

• При \( -2 < x < 2 \):

  • Знаменатель отрицателен (что видно из двух отрицательных кубов).
  • Числитель остается положительным.
  • Таким образом, функция отрицательна.

5. Нахождение пределов

Если нужно определить пределы функции при \( x \to 2 \) и \( x \to -2 \):

• Предел при \( x \to 2 \) будет стремиться к \( -\infty \) (так как знаменатель будет стремиться к нулю и будет отрицательным).
• Предел при \( x \to -2 \) будет стремиться к \( +\infty \).

Заключение

Таким образом, функция имеет две вертикальные асимптоты в точках \( x = 2 \) и \( x = -2 \) и меняет знак в этих точках. Надеюсь, это объяснение помогло вам лучше понять структуру и поведение данной функции!