Y = 30x²+40/ ( x²-4)³

Для того чтобы понять задание, давайте разберем данную функцию \( y = \frac{30x^2 + 40}{(x^2 - 4)^3} \). ### 1. Понимание функции Эта функция представляет собой дробь, где: - **Числитель:** \( 30x^2 + 40 \) - **Знаменатель:** \( (x^2 - 4)^3 \) ### 2. Анализ числителя и знаменателя #### Числитель: \( 30x^2 + 40 \) - Это квадратный трехчлен (или полином второй степени). Мы можем выделить общий множитель: \[ 30x^2 + 40 = 10(3x^2 + 4) \] - Он всегда положителен, так как \( 3x^2 + 4 > 0 \) для всех действительных \( x \). #### Знаменатель: \( (x^2 - 4)^3 \) - Знаменатель — это куб выражения \( x^2 - 4 \). Данное выражение можно разложить на множители: \[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \] - Таким образом, знаменатель становится: \[ (x^2 - 4)^3 = [(x - 2)(x + 2)]^3 = (x - 2)^3(x + 2)^3 \] ### 3. Определение точек, где функция не определена Функция не определена в тех точках, где знаменатель равен нулю: \[ (x - 2)^3(x + 2)^3 = 0 \] Это происходит при \( x = 2 \) и \( x = -2 \). ### 4. Определение значений функции Теперь мы можем выяснить, как функция себя ведет при различных \( x \): - При \( x < -2 \) и \( x > 2 \): - Знаменатель положителен, поскольку куб любых положительных/отрицательных чисел остается положительным/отрицательным. - Числитель также положителен. - Следовательно, функция положительна. - При \( -2 < x < 2 \): - Знаменатель отрицателен (что видно из двух отрицательных кубов). - Числитель остается положительным. - Таким образом, функция отрицательна. ### 5. Нахождение пределов Если нужно определить пределы функции при \( x \to 2 \) и \( x \to -2 \): - Предел при \( x \to 2 \) будет стремиться к \( -\infty \) (так как знаменатель будет стремиться к нулю и будет отрицательным). - Предел при \( x \to -2 \) будет стремиться к \( +\infty \). ### Заключение Таким образом, функция имеет две вертикальные асимптоты в точках \( x = 2 \) и \( x = -2 \) и меняет знак в этих точках. Надеюсь, это объяснение помогло вам лучше понять структуру и поведение данной функции!