Докажите тождество: (x+y)³-x³-y³=3xy(x+y)

Для того чтобы доказать тождество \((x+y)^3 - x^3 - y^3 = 3xy(x+y)\), будем проводить шаги пораздельно и разберём каждую часть.

Шаг 1: Раскроем левую часть тождества

Начнём с выражения \((x+y)^3\). Используем формулу куба суммы:

\[ (x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 \]

Теперь подставим это в левую часть нашего тождества:

\[ (x+y)^3 - x^3 - y^3 = (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) - x^3 - y^3 \]

Шаг 2: Упростим выражение

Когда мы вычтем \(x^3\) и \(y^3\), мы получим:

\[ x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 - x^3 - y^3 = 3x^2y + 3xy^2 \]

Шаг 3: Вынесем общий множитель

Теперь видим, что в полученном выражении \(3x^2y + 3xy^2\) можно вынести общий множитель:

\[ 3x^2y + 3xy^2 = 3xy(x + y) \]

Шаг 4: Подводим итог

Теперь мы можем записать:

\[ (x+y)^3 - x^3 - y^3 = 3xy(x+y) \]

Таким образом, мы доказали, что левую часть равенства можно преобразовать в правую часть. Поэтому,

\[ (x+y)^3 - x^3 - y^3 \equiv 3xy(x+y) \]

Это завершает доказательство тождества.