Для того чтобы доказать тождество ((x+y)^3 - x^3 - y^3 = 3xy(x+y)), будем проводить шаги пораздельно и разберём каждую часть.
Шаг 1: Раскроем левую часть тождества
Начнём с выражения ((x+y)^3). Используем формулу куба суммы:
[
(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3
]
Теперь подставим это в левую часть нашего тождества:
[
(x+y)^3 - x^3 - y^3 = (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) - x^3 - y^3
]
Шаг 2: Упростим выражение
Когда мы вычтем (x^3) и (y^3), мы получим:
[
x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 - x^3 - y^3 = 3x^2y + 3xy^2
]
Шаг 3: Вынесем общий множитель
Теперь видим, что в полученном выражении (3x^2y + 3xy^2) можно вынести общий множитель:
[
3x^2y + 3xy^2 = 3xy(x + y)
]
Шаг 4: Подводим итог
Теперь мы можем записать:
[
(x+y)^3 - x^3 - y^3 = 3xy(x+y)
]
Таким образом, мы доказали, что левую часть равенства можно преобразовать в правую часть. Поэтому,
[
(x+y)^3 - x^3 - y^3 \equiv 3xy(x+y)
]
Это завершает доказательство тождества.
