Чтобы решить задачу, нужно понять, что мы ищем многочлен ( P(x) ), который в сумме с данным многочленом ( 5x^2 - 3x - 9 ) будет равен 18 для всех значений ( x ).
Запишем это математически:
[
P(x) + (5x^2 - 3x - 9) = 18
]
Теперь перенесем многочлен ( 5x^2 - 3x - 9 ) в правую часть уравнения:
[
P(x) = 18 - (5x^2 - 3x - 9)
]
Теперь упростим правую часть уравнения:
- Раскроем скобки:
[
P(x) = 18 - 5x^2 + 3x + 9
]
- Объединим подобные члены:
[
P(x) = (18 + 9) - 5x^2 + 3x
]
[
P(x) = 27 - 5x^2 + 3x
]
Таким образом, мы получили многочлен ( P(x) ):
[
P(x) = -5x^2 + 3x + 27
]
Теперь мы можем сказать, что многочлен, который в сумме с ( 5x^2 - 3x - 9 ) дает 18, равен ( -5x^2 + 3x + 27 ).
Проверка результата:
Для уверенности, давайте подставим ( P(x) ) обратно в уравнение:
[
(-5x^2 + 3x + 27) + (5x^2 - 3x - 9) = 18
]
Сложим многочлены:
- Сложим коэффициенты при ( x^2 ):
[
-5x^2 + 5x^2 = 0
]
- Сложим коэффициенты при ( x ):
[
3x - 3x = 0
]
- Сложим свободные члены:
[
27 - 9 = 18
]
Итак, у нас получается 18, что подтверждает правильность нашего ответа.
Итог:
Многочлен ( P(x) ), который в сумме с ( 5x^2 - 3x - 9 ) тождественно равен 18, равен ( -5x^2 + 3x + 27 ).
