259. В кармане у Сергея 10 монет: 4 двухрублёвые, остальные пятирублёвые. Сергей на ощупь вынимает из кармана 6 монет. Какова вероятность того, что среди оставшихся в кармане…
259. В кармане у Сергея 10 монет: 4 двухрублёвые, остальные пятирублёвые. Сергей на ощупь вынимает из кармана 6 монет. Какова вероятность того, что среди оставшихся в кармане монет: а) окажутся ровно 2 двухрублёвые; б) не окажется ни одной пятирублёвой? Указание. Обратите внимание на то, что выбранными в данном случае оказываются те монеты, что остались в кармане, а не те, что вынуты.
Для решения этой задачи начнем с изучения данных:
- У Сергея есть 10 монет: 4 двухрублёвые (Д) и 6 пятирублёвых (П).
- Сергей вынимает 6 монет, и нам нужно найти вероятность для двух случаев.
a) Вероятность того, что среди оставшихся в кармане монет окажутся ровно 2 двухрублёвые.
Если вернуться к исходным данным, то после того, как Сергей вынул 6 монет, в кармане остаются 4 монеты (всего 10 - 6 = 4). Если среди оставшихся 4 монет должно остаться ровно 2 двухрублёвые, значит, из 6 вынутых монет должно быть 2 двухрублёвые и 4 пятирублёвые.
Определим количество способов:
- Вытащить 2 двухрублёвые из 4. Количество способов: \(\binom{4}{2}\).
- Вытащить 4 пятирублёвые из 6. Количество способов: \(\binom{6}{4}\).
Теперь подсчитаем совместно количество удачных случаев:
\[ \text{Общее количество удачных случаев} = \binom{4}{2} \times \binom{6}{4} \]
Теперь найдем общее количество способов вытащить любые 6 монет из 10:
\[ \text{Общее количество способов выбрать 6 монет из 10} = \binom{10}{6} \]
Таким образом, вероятность \( P(A) \):
\[ P(A) = \frac{\binom{4}{2} \times \binom{6}{4}}{\binom{10}{6}} \]
Теперь подставим значения:
\( \binom{4}{2} = 6, \quad \binom{6}{4} = 15, \quad \binom{10}{6} = 210. \)
Следовательно,
\[ P(A) = \frac{6 \times 15}{210} = \frac{90}{210} = \frac{3}{7}. \]
b) Вероятность того, что не окажется ни одной пятирублёвой.
В этом случае нам нужно, чтобы среди оставшихся 4 монет не оказалось ни одной пятирублёвой. Это значит, что все 6 вынутых монет должны быть пятирублёвыми. Так как всего у Сергея 6 пятирублёвых монет, ему необходимо вынуть все 6 пятирублёвых монет.
Определим количество способов:
- Вынуть 0 двухрублёвых и все 6 пятирублёвых: в данном случае это только один способ, так как он должен вынуть именно все 6 пятирублёвых.
Таким образом, вероятность \( P(B) \):
\[ P(B) = \frac{1}{\binom{10}{6}} \]
Поскольку общее количество способов выбрать 6 монет из 10 по-прежнему составляет 210:
\[ P(B) = \frac{1}{210}. \]
Теперь мы имеем результаты:
- a) Вероятность того, что среди оставшихся в кармане монет окажутся ровно 2 двухрублёвые: \( \frac{3}{7} \).
- b) Вероятность того, что не окажется ни одной пятирублёвой: \( \frac{1}{210} \).
