Чтобы решить задачу об утроении суммы капитала по сложным процентам с заданной процентной ставкой и периодом начисления, воспользуемся формулой сложных процентов:
[
A = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}
]
где:
- (A) — конечная сумма (в нашем случае это утроение капитала, то есть (A = 3P)),
- (P) — первоначальная сумма капитала,
- (r) — годовая процентная ставка (в десятичной форме),
- (n) — количество начислений процентов в год,
- (t) — количество лет.
Дано:
- Годовая ставка (r = 48% = 0.48),
- Ежеквартальное начисление значит (n = 4).
Теперь подставим известные значения в формулу, чтобы найти (t), когда (A = 3P):
[
3P = P \left(1 + \frac{0.48}{4}\right)^{4t}
]
Так как (P) можно сократить, это упростит наше уравнение:
[
3 = \left(1 + \frac{0.48}{4}\right)^{4t}
]
Теперь вычислим (\frac{0.48}{4}):
[
\frac{0.48}{4} = 0.12
]
То есть, у нас остается:
[
3 = (1 + 0.12)^{4t}
]
Это упрощается до:
[
3 = (1.12)^{4t}
]
Чтобы выразить (t), возьмем логарифм от обеих сторон уравнения:
[
\log(3) = \log((1.12)^{4t})
]
Используя свойства логарифмов:
[
\log(3) = 4t \cdot \log(1.12)
]
Решим для (t):
[
t = \frac{\log(3)}{4 \cdot \log(1.12)}
]
Теперь вычислим логарифмы. Воспользуемся калькулятором для получения значений:
- (\log(3) \approx 0.4771)
- (\log(1.12) \approx 0.0492)
Теперь подставим эти значения в формулу:
[
t = \frac{0.4771}{4 \cdot 0.0492} \approx \frac{0.4771}{0.1968} \approx 2.426
]
Таким образом, период времени, необходимый для утроения суммы капитала при процентной ставке 48% годовых и ежеквартальном начислении процентов, составляет примерно 2.43 года или 2 года и 5 месяцев.
