Второе задание с таблицей

Давайте разберём задачу №2.

Задача:

Катер прошёл 40 км по течению реки и 6 км против течения, затратив на весь путь 3 часа. Какова собственная скорость катера, если скорость течения реки равна 2 км/ч?

Решение:

Пусть:

• \( v \) — собственная скорость катера (км/ч).
• \( v_{\text{течения}} = 2 \) км/ч — скорость течения реки.

При движении по течению река добавляет свою скорость к катеру, а при движении против течения — отнимает. Значит:

• Скорость катера по течению: \( v + 2 \) км/ч.
• Скорость катера против течения: \( v - 2 \) км/ч.

Время движения катера по течению: \[ t_1 = \frac{40}{v + 2} \]

Время движения катера против течения: \[ t_2 = \frac{6}{v - 2} \]

Общее время: \[ t_1 + t_2 = 3 \]

Подставим формулы времени: \[ \frac{40}{v + 2} + \frac{6}{v - 2} = 3 \]

Теперь решим это уравнение. Приведём дроби к общему знаменателю: \[ \frac{40(v - 2) + 6(v + 2)}{(v + 2)(v - 2)} = 3 \]

Раскроем скобки: \[ 40v - 80 + 6v + 12 = 3(v^2 - 4) \]

Упростим: \[ 46v - 68 = 3v^2 - 12 \]

Приведём всё к стандартному виду квадратного уравнения: \[ 3v^2 - 46v + 56 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение. Для этого найдём дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = (-46)^2 - 4 \times 3 \times 56 \]

\[ D = 2116 - 672 = 1444 \]

Корни квадратного уравнения находятся по формуле: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ v_1 = \frac{46 + 38}{6} = 14 \]

\[ v_2 = \frac{46 - 38}{6} = 1.333 \ldots \]

Скорость \( v_2 \) не подходит, так как она не может быть меньше скорости течения. Таким образом, собственная скорость катера равна 14 км/ч.

Ответ: собственная скорость катера составляет 14 км/ч.