На уроке алгебры необходимо было решить самостоятельно две задачи: одна на производительность, вторая - на смеси. Задачу на производительность решили 8 учеников, а задачу на смеси…
На уроке алгебры необходимо было решить самостоятельно две задачи: одна на производительность, вторая - на смеси. Задачу на производительность решили 8 учеников, а задачу на смеси 12. Найди вероятность того, что случайно выбранный ученик решил обе задачи, если известно, что всего учеников было 18 и каждый решил хотя бы одну. (Ответ округли до сотых.)
Чтобы решить эту задачу, будем использовать формулы теории вероятностей.
Определение переменных.
- Пусть \( A \) — это событие, что ученик решил задачу на производительность.
- Пусть \( B \) — это событие, что ученик решил задачу на смеси.
- Дано, что:
- \( |A| = 8 \) (8 учеников решили задачу на производительность)
- \( |B| = 12 \) (12 учеников решили задачу на смеси)
- Всего учеников \( |U| = 18 \)
- Каждый ученик решил хотя бы одну задачу.
Применение принципа включения-исключения.
- Мы знаем, что каждый ученик решил хотя бы одну задачу, поэтому можем использовать формулу: \[ |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \] Здесь \( |A \cup B| \) — количество учеников, решивших хотя бы одну из задач. Поскольку каждый ученик решил хотя бы одну задачу, \( |A \cup B| = |U| = 18 \).
Подставляем известные значения. \[ 18 = 8 + 12 - |A \cap B| \] Это упрощается до: \[ 18 = 20 - |A \cap B| \] Таким образом: \[ |A \cap B| = 20 - 18 = 2 \] Это означает, что 2 ученика решили обе задачи.
Находим вероятность.
- Вероятность того, что случайно выбранный ученик решил обе задачи, определяется как: \[ P(A \cap B) = \frac{|A \cap B|}{|U|} = \frac{2}{18} \] Упрощаем дробь: \[ P(A \cap B) = \frac{1}{9} \approx 0.1111 \]
Округляем до сотых. \[ P(A \cap B) \approx 0.11 \]
Таким образом, вероятность того, что случайно выбранный ученик решил обе задачи, составляет 0.11 или 11%.
