От пристани на пирсе рыбхозяйства отправился в путь плот. Через 3 ч вдогонку отправилась моторная лодка, которая дошла до следующей пристани и сейчас же повернула обратно,…

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Дано:

1. Плот идет в течение 3 часов и за это время проходит 30 км.
2. Моторная лодка отправляется через 3 часа после плота.
3. Расстояние между пристанями — 35 км.
4. Скорость течения реки — 6 км/ч.

Необходимые определения:

• Обозначим скорость лодки в стоячей воде как \( v \) (км/ч).
• Скорость лодки против течения будет \( v - 6 \) км/ч (течение замедляет лодку).
• Скорость лодки по течению будет \( v + 6 \) км/ч (течение ускоряет лодку).

Шаг 1: Найдем скорость плота

Плот за 3 часа прошел 30 км, значит его скорость: \[ v_{\text{плот}} = \frac{30 \text{ км}}{3 \text{ ч}} = 10 \text{ км/ч}. \]

Шаг 2: Определим время, которое потратит лодка

Лодка сначала дойдет до следующей пристани (расстояние 35 км), а затем вернется обратно. Рассчитаем время на пути до второй пристани и обратно к первой.

• Время на путь до второй пристани: \[ t_1 = \frac{35 \text{ км}}{v + 6} \]

• Время на обратный путь: \[ t_2 = \frac{35 \text{ км}}{v - 6} \]

• Общее время лодки: \[ t_{\text{лодка}} = t_1 + t_2 = \frac{35}{v + 6} + \frac{35}{v - 6}. \]

Шаг 3: Общее время, прошедшее с момента выхода плота

Плот начал свой путь за 3 часа до того, как лодка вернулась, и в это время прошел 30 км. То есть лодка должна вернуться по истечении времени, дорогой до второго пирса и назад, что будет равно: \[ t_{\text{лодка}} = 3 + t_{\text{плот}}. \]

Плот продолжил идти в течение времени, пока лодка была в пути: \[ t_{\text{плот}} = \frac{30 \text{ км}}{10 \text{ км/ч}} = 3 \text{ ч}. \] Таким образом, общее время для лодки: \[ t_{\text{лодка}} = 3 + 3 = 6 \text{ ч}. \]

Шаг 4: Составляем уравнение для времени лодки

Теперь мы можем составить уравнение: \[ \frac{35}{v + 6} + \frac{35}{v - 6} = 6. \]

Шаг 5: Умножим обе стороны уравнения на \( (v + 6)(v - 6) \), чтобы избавиться от дробей:

\[ 35(v - 6) + 35(v + 6) = 6(v^2 - 36). \]

Распределим произведение: \[ 35v - 210 + 35v + 210 = 6v^2 - 216. \]

Объединим подобные: \[ 70v = 6v^2 - 216. \]

Шаг 6: Преобразуем к стандартному виду

Переносим все на одну сторону: \[ 6v^2 - 70v - 216 = 0. \]

Шаг 7: Решение квадратного уравнения

Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-70)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-216). \] \[ D = 4900 + 5184 = 10084. \] Теперь закончим вычисления и найдем \( v \): \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{70 \pm \sqrt{10084}}{12}. \]

Шаг 8: Вычисления

Находим корень и подставляем значение: Для простоты, можем использовать калькулятор: \[ \sqrt{10084} \approx 100.42. \] Далее считаем: \[ v_1 \approx \frac{70 + 100.42}{12} \approx 14.37 \text{ км/ч}, \quad v_2 \approx \frac{70 - 100.42}{12} \text{ (отрицательное значение отбрасываем)}. \]

Итог

Скорость лодки в стоячей воде: \[ v \approx 14.37 \text{ км/ч}. \]

Скорость лодки против течения: \[ v - 6 \approx 14.37 - 6 = 8.37 \text{ км/ч}. \]

Таким образом, скорость лодки против течения составляет примерно 8.37 км/ч.