Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Дано:
- Плот идет в течение 3 часов и за это время проходит 30 км.
- Моторная лодка отправляется через 3 часа после плота.
- Расстояние между пристанями — 35 км.
- Скорость течения реки — 6 км/ч.
Необходимые определения:
- Обозначим скорость лодки в стоячей воде как ( v ) (км/ч).
- Скорость лодки против течения будет ( v - 6 ) км/ч (течение замедляет лодку).
- Скорость лодки по течению будет ( v + 6 ) км/ч (течение ускоряет лодку).
Шаг 1: Найдем скорость плота
Плот за 3 часа прошел 30 км, значит его скорость:
[
v_{\text{плот}} = \frac{30 \text{ км}}{3 \text{ ч}} = 10 \text{ км/ч}.
]
Шаг 2: Определим время, которое потратит лодка
Лодка сначала дойдет до следующей пристани (расстояние 35 км), а затем вернется обратно. Рассчитаем время на пути до второй пристани и обратно к первой.
Время на путь до второй пристани:
[
t_1 = \frac{35 \text{ км}}{v + 6}
]
Время на обратный путь:
[
t_2 = \frac{35 \text{ км}}{v - 6}
]
Общее время лодки:
[
t_{\text{лодка}} = t_1 + t_2 = \frac{35}{v + 6} + \frac{35}{v - 6}.
]
Шаг 3: Общее время, прошедшее с момента выхода плота
Плот начал свой путь за 3 часа до того, как лодка вернулась, и в это время прошел 30 км. То есть лодка должна вернуться по истечении времени, дорогой до второго пирса и назад, что будет равно:
[
t_{\text{лодка}} = 3 + t_{\text{плот}}.
]
Плот продолжил идти в течение времени, пока лодка была в пути:
[
t_{\text{плот}} = \frac{30 \text{ км}}{10 \text{ км/ч}} = 3 \text{ ч}.
]
Таким образом, общее время для лодки:
[
t_{\text{лодка}} = 3 + 3 = 6 \text{ ч}.
]
Шаг 4: Составляем уравнение для времени лодки
Теперь мы можем составить уравнение:
[
\frac{35}{v + 6} + \frac{35}{v - 6} = 6.
]
Шаг 5: Умножим обе стороны уравнения на ( (v + 6)(v - 6) ), чтобы избавиться от дробей:
[
35(v - 6) + 35(v + 6) = 6(v^2 - 36).
]
Распределим произведение:
[
35v - 210 + 35v + 210 = 6v^2 - 216.
]
Объединим подобные:
[
70v = 6v^2 - 216.
]
Шаг 6: Преобразуем к стандартному виду
Переносим все на одну сторону:
[
6v^2 - 70v - 216 = 0.
]
Шаг 7: Решение квадратного уравнения
Используем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-70)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-216).
]
[
D = 4900 + 5184 = 10084.
]
Теперь закончим вычисления и найдем ( v ):
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{70 \pm \sqrt{10084}}{12}.
]
Шаг 8: Вычисления
Находим корень и подставляем значение:
Для простоты, можем использовать калькулятор:
[
\sqrt{10084} \approx 100.42.
]
Далее считаем:
[
v_1 \approx \frac{70 + 100.42}{12} \approx 14.37 \text{ км/ч}, \quad v_2 \approx \frac{70 - 100.42}{12} \text{ (отрицательное значение отбрасываем)}.
]
Итог
Скорость лодки в стоячей воде:
[
v \approx 14.37 \text{ км/ч}.
]
Скорость лодки против течения:
[
v - 6 \approx 14.37 - 6 = 8.37 \text{ км/ч}.
]
Таким образом, скорость лодки против течения составляет примерно 8.37 км/ч.
