Чтобы решить эту задачу, давайте поэтапно разберёмся с ней.
Шаг 1: Определение кратных чисел
Нам нужно вычеркнуть из последовательности натуральных чисел от 1 до 2023 числа, которые кратны 3, 5 и 12. Для этого сначала найдем количество чисел, кратных каждому из этих чисел:
Числа, кратные 3:
Чтобы найти столько чисел, мы используем формулу для нахождения количества кратных ( n ) в пределах ( m ):
[
\text{Количество чисел, кратных } n = \left\lfloor \frac{m}{n} \right\rfloor
]
В нашем случае ( n = 3 ) и ( m = 2023 ):
[
A = \left\lfloor \frac{2023}{3} \right\rfloor = 674
]
Числа, кратные 5:
Теперь найдём количество чисел, кратных 5:
[
B = \left\lfloor \frac{2023}{5} \right\rfloor = 404
]
Числа, кратные 12:
Далее найдем числа, кратные 12:
[
C = \left\lfloor \frac{2023}{12} \right\rfloor = 168
]
Шаг 2: Применение принципа включения-исключения
Числа могут быть кратны одновременно нескольким из указанных чисел, поэтому воспользуемся принципом включения-исключения, чтобы не считать некоторые числа дважды. Необходимы также количества чисел, кратных произведениям:
Числа, кратные 15 (3 и 5):
[
D = \left\lfloor \frac{2023}{15} \right\rfloor = 134
]
Числа, кратные 36 (3 и 12):
[
E = \left\lfloor \frac{2023}{36} \right\rfloor = 56
]
Числа, кратные 60 (5 и 12):
[
F = \left\lfloor \frac{2023}{60} \right\rfloor = 33
]
Числа, кратные 180 (3, 5 и 12):
[
G = \left\lfloor \frac{2023}{180} \right\rfloor = 11
]
Шаг 3: Подсчет чисел, которые мы вычеркнули
Теперь применим принцип включения-исключения для нахождения общего количества вычеркнутых чисел:
[
X = A + B + C - D - E - F + G
]
Подставляем значения:
[
X = 674 + 404 + 168 - 134 - 56 - 33 + 11 = 1034
]
Шаг 4: Нахождение незачеркнутых чисел
Теперь, чтобы найти количество незачеркнутых чисел на доске, вычтем количество вычеркнутых чисел из общего числа:
[
\text{Незачеркнутые числа} = 2023 - X = 2023 - 1034 = 989
]
Ответ
Итак, на доске осталось 989 незачеркнутых чисел.
