На доске написали последовательно натуральные числа от 1 до 2023. Далее из них вычеркнули числа, кратные 3 числа, кратные 5, и числа, кратные 12. Сколько незачеркнутых чисел…
На доске написали последовательно натуральные числа от 1 до 2023. Далее из них вычеркнули числа, кратные 3 числа, кратные 5, и числа, кратные 12. Сколько незачеркнутых чисел осталось на доске?
Чтобы решить эту задачу, давайте поэтапно разберёмся с ней.
Шаг 1: Определение кратных чисел
Нам нужно вычеркнуть из последовательности натуральных чисел от 1 до 2023 числа, которые кратны 3, 5 и 12. Для этого сначала найдем количество чисел, кратных каждому из этих чисел:
Числа, кратные 3: Чтобы найти столько чисел, мы используем формулу для нахождения количества кратных \( n \) в пределах \( m \): \[ \text{Количество чисел, кратных } n = \left\lfloor \frac{m}{n} \right\rfloor \] В нашем случае \( n = 3 \) и \( m = 2023 \): \[ A = \left\lfloor \frac{2023}{3} \right\rfloor = 674 \]
Числа, кратные 5: Теперь найдём количество чисел, кратных 5: \[ B = \left\lfloor \frac{2023}{5} \right\rfloor = 404 \]
Числа, кратные 12: Далее найдем числа, кратные 12: \[ C = \left\lfloor \frac{2023}{12} \right\rfloor = 168 \]
Шаг 2: Применение принципа включения-исключения
Числа могут быть кратны одновременно нескольким из указанных чисел, поэтому воспользуемся принципом включения-исключения, чтобы не считать некоторые числа дважды. Необходимы также количества чисел, кратных произведениям:
Числа, кратные 15 (3 и 5): \[ D = \left\lfloor \frac{2023}{15} \right\rfloor = 134 \]
Числа, кратные 36 (3 и 12): \[ E = \left\lfloor \frac{2023}{36} \right\rfloor = 56 \]
Числа, кратные 60 (5 и 12): \[ F = \left\lfloor \frac{2023}{60} \right\rfloor = 33 \]
Числа, кратные 180 (3, 5 и 12): \[ G = \left\lfloor \frac{2023}{180} \right\rfloor = 11 \]
Шаг 3: Подсчет чисел, которые мы вычеркнули
Теперь применим принцип включения-исключения для нахождения общего количества вычеркнутых чисел: \[ X = A + B + C - D - E - F + G \]
Подставляем значения: \[ X = 674 + 404 + 168 - 134 - 56 - 33 + 11 = 1034 \]
Шаг 4: Нахождение незачеркнутых чисел
Теперь, чтобы найти количество незачеркнутых чисел на доске, вычтем количество вычеркнутых чисел из общего числа: \[ \text{Незачеркнутые числа} = 2023 - X = 2023 - 1034 = 989 \]
Ответ
Итак, на доске осталось 989 незачеркнутых чисел.
