Исследовать функцию у=f(x) на возрастание и убывания. Найти точки экстремума и экстремумы функции у=2+3х-х^3

Давайте подробно рассмотрим функцию \( y = 2 + 3x - x^3 \) и проанализируем её на возрастание и убывание, а также найдем точки экстремума. ### Шаг 1: Найдем производную функции Производная функции поможет нам определить, где функция возрастает и убывает, а также найти экстремумы. Функция: \[ y = 2 + 3x - x^3 \] Находим производную: \[ y' = \frac{dy}{dx} = 3 - 3x^2 \] ### Шаг 2: Найдем критические точки Критические точки — это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Мы приравниваем производную к нулю: \[ 3 - 3x^2 = 0 \] Решим уравнение: \[ 3x^2 = 3 \\ x^2 = 1 \\ x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1 \] Таким образом, мы нашли две критические точки: \( x = 1 \) и \( x = -1 \). ### Шаг 3: Исследуем знаки производной Теперь мы определим, где функция возрастает, а где убывает, проверяя знак производной на интервалах, огражденных критическими точками. У нас есть три интервала: \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 1) \) и \( (1, +\infty) \). 1. **Интервал \( (-\infty, -1) \)**: Выберем точку \( x = -2 \): \[ y'(-2) = 3 - 3(-2)^2 = 3 - 12 = -9 \quad (\text{меньше 0, убывает}) \] 2. **Интервал \( (-1, 1) \)**: Выберем точку \( x = 0 \): \[ y'(0) = 3 - 3(0)^2 = 3 \quad (\text{больше 0, возрастает}) \] 3. **Интервал \( (1, +\infty) \)**: Выберем точку \( x = 2 \): \[ y'(2) = 3 - 3(2)^2 = 3 - 12 = -9 \quad (\text{меньше 0, убывает}) \] ### Шаг 4: Результаты по возрастанию и убыванию - Функция убывает на интервале \( (-\infty, -1) \). - Функция возрастает на интервале \( (-1, 1) \). - Функция убывает на интервале \( (1, +\infty) \). ### Шаг 5: Определение экстремумов Теперь мы можем определить, какие экстремумы есть в критических точках: 1. **Точка \( x = -1 \)**: - Функция меняет знак производной с отрицательного на положительный, следовательно, это минимум. 2. **Точка \( x = 1 \)**: - Функция меняет знак производной с положительного на отрицательный, следовательно, это максимум. ### Шаг 6: Найдем значения функции в экстремумах Теперь найдем значения функции в этих точках: - В точке \( x = -1 \): \[ y(-1) = 2 + 3(-1) - (-1)^3 = 2 - 3 + 1 = 0 \] - В точке \( x = 1 \): \[ y(1) = 2 + 3(1) - (1)^3 = 2 + 3 - 1 = 4 \] ### Итог - Точка минимума: \( (-1, 0) \) - Точка максимума: \( (1, 4) \) Таким образом, мы изучили функцию \( y = 2 + 3x - x^3 \) на возрастание и убывание, а также нашли её экстремумы. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!