Исследовать функцию у=f(x) на возрастание и убывания. Найти точки экстремума и экстремумы функции у=2+3х-х^3
Давайте подробно рассмотрим функцию \( y = 2 + 3x - x^3 \) и проанализируем её на возрастание и убывание, а также найдем точки экстремума.
Шаг 1: Найдем производную функции
Производная функции поможет нам определить, где функция возрастает и убывает, а также найти экстремумы.
Функция: \[ y = 2 + 3x - x^3 \]
Находим производную: \[ y' = \frac{dy}{dx} = 3 - 3x^2 \]
Шаг 2: Найдем критические точки
Критические точки — это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Мы приравниваем производную к нулю: \[ 3 - 3x^2 = 0 \]
Решим уравнение: \[ 3x^2 = 3 \\ x^2 = 1 \\ x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1 \]
Таким образом, мы нашли две критические точки: \( x = 1 \) и \( x = -1 \).
Шаг 3: Исследуем знаки производной
Теперь мы определим, где функция возрастает, а где убывает, проверяя знак производной на интервалах, огражденных критическими точками. У нас есть три интервала: \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 1) \) и \( (1, +\infty) \).
Интервал \( (-\infty, -1) \): Выберем точку \( x = -2 \): \[ y'(-2) = 3 - 3(-2)^2 = 3 - 12 = -9 \quad (\text{меньше 0, убывает}) \]
Интервал \( (-1, 1) \): Выберем точку \( x = 0 \): \[ y'(0) = 3 - 3(0)^2 = 3 \quad (\text{больше 0, возрастает}) \]
Интервал \( (1, +\infty) \): Выберем точку \( x = 2 \): \[ y'(2) = 3 - 3(2)^2 = 3 - 12 = -9 \quad (\text{меньше 0, убывает}) \]
Шаг 4: Результаты по возрастанию и убыванию
- Функция убывает на интервале \( (-\infty, -1) \).
- Функция возрастает на интервале \( (-1, 1) \).
- Функция убывает на интервале \( (1, +\infty) \).
Шаг 5: Определение экстремумов
Теперь мы можем определить, какие экстремумы есть в критических точках:
Точка \( x = -1 \):
- Функция меняет знак производной с отрицательного на положительный, следовательно, это минимум.
Точка \( x = 1 \):
- Функция меняет знак производной с положительного на отрицательный, следовательно, это максимум.
Шаг 6: Найдем значения функции в экстремумах
Теперь найдем значения функции в этих точках:
В точке \( x = -1 \): \[ y(-1) = 2 + 3(-1) - (-1)^3 = 2 - 3 + 1 = 0 \]
В точке \( x = 1 \): \[ y(1) = 2 + 3(1) - (1)^3 = 2 + 3 - 1 = 4 \]
Итог
- Точка минимума: \( (-1, 0) \)
- Точка максимума: \( (1, 4) \)
Таким образом, мы изучили функцию \( y = 2 + 3x - x^3 \) на возрастание и убывание, а также нашли её экстремумы. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!
