Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 48 мм и площадью 768 см^2. По программе 9 класса

Для решения данной задачи нам нужно найти радиус описанной окружности (\(R\)) равнобедренного треугольника с известным основанием и площадью. ### Дано: - Основание равнобедренного треугольника (\(a\)) = 48 мм = 4.8 см (переводим миллиметры в сантиметры, так как площадь дана в см²). - Площадь (\(S\)) = 768 см². ### Шаг 1: Найдем высоту треугольника Площадь треугольника можно выразить через основание и высоту по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \] где \(h\) — высота треугольника. Подставим известные значения: \[ 768 = \frac{1}{2} \cdot 4.8 \cdot h \] Умножим обе стороны на 2: \[ 1536 = 4.8 \cdot h \] Теперь найдём \(h\): \[ h = \frac{1536}{4.8} = 320 \text{ см} \] ### Шаг 2: Найдем стороны треугольника Пусть \(b\) — длина боковой стороны равнобедренного треугольника. Боковые стороны равны, поэтому можем использовать теорему Пифагора для нахождения боковой стороны через высоту и половину основания. Полуоснование: \[ \frac{a}{2} = \frac{48}{2} = 24 \text{ мм} = 2.4 \text{ см} \] Теперь используем теорему Пифагора: \[ b^2 = h^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2 \] \[ b^2 = 320^2 + 2.4^2 \] \[ b^2 = 102400 + 5.76 = 102405.76 \] \[ b = \sqrt{102405.76} \approx 320.3 \text{ см} \] ### Шаг 3: Найдем радиус описанной окружности \(R\) Для треугольника радиус описанной окружности находят по формуле: \[ R = \frac{abc}{4S} \] где \(a\), \(b\), \(c\) — стороны треугольника, а \(S\) — площадь. В нашем случае: - \(a = 4.8 \text{ см}\) (основание) - \(b \approx 320.3 \text{ см}\) (боковые стороны, их две, но в формуле учтем одну) - \(c = 320.3 \text{ см}\) (вторая боковая сторона) Теперь подставим в формулу: \[ R = \frac{4.8 \cdot 320.3 \cdot 320.3}{4 \cdot 768} \] Сначала посчитаем числитель: \[ 4.8 \cdot 320.3 \cdot 320.3 \approx 4.8 \cdot 102405.76 \approx 491.547.648 \] Теперь посчитаем знаменатель: \[ 4 \cdot 768 = 3072 \] Теперь подставляем в формулу для \(R\): \[ R \approx \frac{491547.648}{3072} \approx 160.0 \text{ см} \] ### Ответ: Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, составляет примерно \( 160 \text{ см}\).