Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 48 мм и площадью 768 см^2. По программе 9 класса
Для решения данной задачи нам нужно найти радиус описанной окружности (\(R\)) равнобедренного треугольника с известным основанием и площадью.
Дано:
- Основание равнобедренного треугольника (\(a\)) = 48 мм = 4.8 см (переводим миллиметры в сантиметры, так как площадь дана в см²).
- Площадь (\(S\)) = 768 см².
Шаг 1: Найдем высоту треугольника
Площадь треугольника можно выразить через основание и высоту по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \] где \(h\) — высота треугольника.
Подставим известные значения: \[ 768 = \frac{1}{2} \cdot 4.8 \cdot h \]
Умножим обе стороны на 2: \[ 1536 = 4.8 \cdot h \]
Теперь найдём \(h\): \[ h = \frac{1536}{4.8} = 320 \text{ см} \]
Шаг 2: Найдем стороны треугольника
Пусть \(b\) — длина боковой стороны равнобедренного треугольника. Боковые стороны равны, поэтому можем использовать теорему Пифагора для нахождения боковой стороны через высоту и половину основания.
Полуоснование: \[ \frac{a}{2} = \frac{48}{2} = 24 \text{ мм} = 2.4 \text{ см} \]
Теперь используем теорему Пифагора: \[ b^2 = h^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2 \] \[ b^2 = 320^2 + 2.4^2 \] \[ b^2 = 102400 + 5.76 = 102405.76 \] \[ b = \sqrt{102405.76} \approx 320.3 \text{ см} \]
Шаг 3: Найдем радиус описанной окружности \(R\)
Для треугольника радиус описанной окружности находят по формуле: \[ R = \frac{abc}{4S} \] где \(a\), \(b\), \(c\) — стороны треугольника, а \(S\) — площадь.
В нашем случае:
- \(a = 4.8 \text{ см}\) (основание)
- \(b \approx 320.3 \text{ см}\) (боковые стороны, их две, но в формуле учтем одну)
- \(c = 320.3 \text{ см}\) (вторая боковая сторона)
Теперь подставим в формулу: \[ R = \frac{4.8 \cdot 320.3 \cdot 320.3}{4 \cdot 768} \] Сначала посчитаем числитель: \[ 4.8 \cdot 320.3 \cdot 320.3 \approx 4.8 \cdot 102405.76 \approx 491.547.648 \]
Теперь посчитаем знаменатель: \[ 4 \cdot 768 = 3072 \]
Теперь подставляем в формулу для \(R\): \[ R \approx \frac{491547.648}{3072} \approx 160.0 \text{ см} \]
Ответ:
Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, составляет примерно \( 160 \text{ см}\).
Обсуждение
2 сообщенияНайдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 48 см и площадью 768 см^2. По программе 9 класса
Давайте найдем радиус описанной окружности равнобедренного треугольника с основанием 48 см и площадью 768 см².
Дано:
- Основание \(a = 48\) см
- Площадь \(S = 768\) см²
Шаг 1: Найдем высоту треугольника
Площадь треугольника записывается по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \] где \(h\) — высота треугольника. Подставляем известные значения: \[ 768 = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot h \]
Умножим обе стороны на 2: \[ 1536 = 48 \cdot h \]
Теперь найдем \(h\): \[ h = \frac{1536}{48} = 32 \text{ см} \]
Шаг 2: Найдем боковые стороны треугольника
Теперь воспользуемся теоремой Пифагора, чтобы найти длину боковой стороны \(b\) треугольника. Полуоснование \(a/2\) равно: \[ \frac{a}{2} = \frac{48}{2} = 24 \text{ см} \]
По теореме Пифагора: \[ b^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \] Подставим известные значения: \[ b^2 = 32^2 + 24^2 \] \[ b^2 = 1024 + 576 = 1600 \] \[ b = \sqrt{1600} = 40 \text{ см} \]
Шаг 3: Найдем радиус описанной окружности \(R\)
Теперь можем использовать формулу для радиуса описанной окружности для треугольника: \[ R = \frac{abc}{4S} \] где \(a = 48\) см (основание), \(b = 40\) см и \(c = 40\) см (две боковых стороны).
Теперь подставим значения: \[ R = \frac{48 \cdot 40 \cdot 40}{4 \cdot 768} \]
Сначала посчитаем числитель: \[ 48 \cdot 40 \cdot 40 = 76800 \]
Теперь считаем знаменатель: \[ 4 \cdot 768 = 3072 \]
Теперь подставим числитель и знаменатель в формулу для \(R\): \[ R = \frac{76800}{3072} = 25 \text{ см} \]
Ответ:
Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, составляет \(25\) см.
