Чтобы найти вероятность того, что среди пяти случайно выбранных учеников будут ровно три мальчика и две девочки, мы используем теорему о вероятности, основанную на комбинаторике.
Шаг 1: Определение всего количества способов выбрать 5 учеников
Сначала определим общее количество способов выбрать 5 учеников из 20. Это можно сделать с помощью биномиального коэффициента:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
где ( n ) — общее количество учеников, ( k ) — количество учеников, которых мы выбираем. В нашем случае:
[
C(20, 5) = \frac{20!}{5! \cdot (20-5)!} = \frac{20!}{5! \cdot 15!}
]
Шаг 2: Вычисление общего количества способов выбрать 5 учеников
Сначала вычислим общее количество способов:
[
C(20, 5) = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 15504
]
Шаг 3: Определение количества способов выбрать 3 мальчиков и 2 девочки
Теперь посчитаем, сколько способов выбрать 3 мальчиков из 12 и 2 девочки из 8:
Для мальчиков:
[
C(12, 3) = \frac{12!}{3! \cdot (12-3)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220
]
Для девочек:
[
C(8, 2) = \frac{8!}{2! \cdot (8-2)!} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28
]
Шаг 4: Вычисление количества благоприятных исходов
Теперь умножим количество способов выбрать мальчиков и девочек, чтобы получить общее количество способов выбрать 3 мальчика и 2 девочки:
[
\text{Благоприятные исходы} = C(12, 3) \times C(8, 2) = 220 \times 28 = 6160
]
Шаг 5: Вычисление вероятности
Теперь найдем вероятность того, что среди 5 выбранных учеников будет ровно 3 мальчика и 2 девочки. Вероятность ( P ) вычисляется как отношение количества благоприятных исходов к общему количеству способов выбрать 5 учеников:
[
P = \frac{\text{Благоприятные исходы}}{\text{Общее количество способов}} = \frac{6160}{15504}
]
Шаг 6: Упрощение вероятности
Теперь упрощаем дробь:
[
P = \frac{6160 \div 16}{15504 \div 16} = \frac{385}{969}
]
Ответ
Вероятность того, что среди пяти случайно выбранных учеников будет ровно три мальчика и две девочки, составляет ( \frac{385}{969} ), что примерно равно 0.397 (или 39.7%).
Надеюсь, теперь вам стало понятнее, как решать подобные задачи! Если будут дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
