Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке С, другая пересекает окружность в точках В и D (см. рисунок). Найдите BD, если…
Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке С, другая пересекает окружность в точках В и D (см. рисунок). Найдите BD, если АВ = 3, AC = 6.
Для решения задачи используем теорему о секущей и касательной, которая гласит: если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению длины секущей на длину её внешней части.
В этой задаче:
- \( AC \) — касательная,
- \( AD \) — секущая, которая пересекает окружность в точках \( B \) и \( D \),
- \( AB \) — внешняя часть секущей.
Согласно теореме, имеем:
\[ AC^2 = AB \cdot AD. \]
Сначала найдем длину \( AD \). Поскольку \( AD = AB + BD \), нам нужно выразить \( AD \) через известные величины.
Подставим известные значения в уравнение:
\[ 6^2 = 3 \cdot (3 + BD). \]
Решим уравнение:
\[ 36 = 3 \cdot (3 + BD), \]
разделим обе стороны на 3:
\[ 12 = 3 + BD. \]
Теперь вычтем 3 из обеих сторон:
\[ BD = 9. \]
Таким образом, длина отрезка \( BD \) равна 9.
