Решите систему управлений

Чтобы решить заданную систему уравнений, используем метод подстановки и замены. 1. **Запишем систему уравнений:** \[ \begin{cases} x^2y^2 - 5xy = -6 \\ x + y = 3 \end{cases} \] 2. **Выразим \( y \) через \( x \) из второго уравнения:** \[ y = 3 - x \] 3. **Подставим выражение для \( y \) во второе уравнение:** \[ x^2(3-x)^2 - 5x(3-x) = -6 \] 4. **Раскроем скобки:** \[ x^2 (9 - 6x + x^2) - 5x (3 - x) = -6 \] \[ 9x^2 - 6x^3 + x^4 - 15x + 5x^2 = -6 \] 5. **Упрощаем уравнение:** \[ x^4 - 6x^3 + 14x^2 - 15x + 6 = 0 \] 6. **Ищем корни.** Попробуем возможные целые корни с помощью теоремы о рациональных корнях (\( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \)). Проверим \( x = 1 \): \[ 1^4 - 6 \cdot 1^3 + 14 \cdot 1^2 - 15 \cdot 1 + 6 = 0 \] \[ 1 - 6 + 14 - 15 + 6 = 0 \] Значит, \( x = 1 \) — корень. 7. **Разделим многочлен на \( x - 1 \) для нахождения оставшихся корней:** \[ (x - 1)(x^3 - 5x^2 + 9x - 6) = 0 \] 8. **Ищем корни \( x^3 - 5x^2 + 9x - 6 = 0 \) с помощью теоремы о рациональных корнях:** Проверим \( x = 2 \): \[ 2^3 - 5 \cdot 2^2 + 9 \cdot 2 - 6 = 0 \] \[ 8 - 20 + 18 - 6 = 0 \] Значит, \( x = 2 \) — еще один корень. 9. **Разделим многочлен на \( x - 2 \):** \[ (x - 1)(x - 2)(x^2 - 3x + 3) = 0 \] 10. **Решим квадратное уравнение \( x^2 - 3x + 3 = 0 \):** Найдем дискриминант: \[ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3 \] Дискриминант отрицательный, вещественных корней нет. 11. **Решения:** \( x = 1 \) и \( x = 2 \). Подставляем в \( y = 3 - x \): - Для \( x = 1 \): \( y = 2 \). - Для \( x = 2 \): \( y = 1 \). **Ответ:** Пары решений \((x, y)\): \( (1, 2) \) и \( (2, 1) \).