Решите систему управлений
Чтобы решить заданную систему уравнений, используем метод подстановки и замены.
Запишем систему уравнений:
\[ \begin{cases} x^2y^2 - 5xy = -6 \\ x + y = 3 \end{cases} \]
Выразим \( y \) через \( x \) из второго уравнения:
\[ y = 3 - x \]
Подставим выражение для \( y \) во второе уравнение:
\[ x^2(3-x)^2 - 5x(3-x) = -6 \]
Раскроем скобки:
\[ x^2 (9 - 6x + x^2) - 5x (3 - x) = -6 \]
\[ 9x^2 - 6x^3 + x^4 - 15x + 5x^2 = -6 \]
Упрощаем уравнение:
\[ x^4 - 6x^3 + 14x^2 - 15x + 6 = 0 \]
Ищем корни.
Попробуем возможные целые корни с помощью теоремы о рациональных корнях (\( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \)).
Проверим \( x = 1 \):
\[ 1^4 - 6 \cdot 1^3 + 14 \cdot 1^2 - 15 \cdot 1 + 6 = 0 \]
\[ 1 - 6 + 14 - 15 + 6 = 0 \]
Значит, \( x = 1 \) — корень.
Разделим многочлен на \( x - 1 \) для нахождения оставшихся корней:
\[ (x - 1)(x^3 - 5x^2 + 9x - 6) = 0 \]
Ищем корни \( x^3 - 5x^2 + 9x - 6 = 0 \) с помощью теоремы о рациональных корнях:
Проверим \( x = 2 \):
\[ 2^3 - 5 \cdot 2^2 + 9 \cdot 2 - 6 = 0 \]
\[ 8 - 20 + 18 - 6 = 0 \]
Значит, \( x = 2 \) — еще один корень.
Разделим многочлен на \( x - 2 \):
\[ (x - 1)(x - 2)(x^2 - 3x + 3) = 0 \]
Решим квадратное уравнение \( x^2 - 3x + 3 = 0 \):
Найдем дискриминант:
\[ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3 \]
Дискриминант отрицательный, вещественных корней нет.
Решения:
\( x = 1 \) и \( x = 2 \).
Подставляем в \( y = 3 - x \):
- Для \( x = 1 \): \( y = 2 \).
- Для \( x = 2 \): \( y = 1 \).
Ответ:
Пары решений \((x, y)\): \( (1, 2) \) и \( (2, 1) \).
