Контрольная работа по геометрии 9 класс Тема: Длина окружности и площадь круга. Вариант 2 1 часть (5 баллов) Запишите верный ответ, Верный ответ каждого задания оценивается одним…

Давайте разберем все задания по контрольной работе по геометрии, указанной вами.

I часть (5 баллов)

Задание 1:

Найдите диаметр окружности, вписанной в квадрат, площадь которого 12 см².

1. Площадь квадрата \( S \) связана со стороной квадрата \( a \) формулой \( S = a^2 \).
2. Исходя из площади, можем найти сторону квадрата: \[ a^2 = 12 \implies a = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \, \text{см} \]
3. Диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен стороне квадрата: \[ D = a = 2\sqrt{3} \, \text{см} \]

Ответ: \( 2\sqrt{3} \) см.

Задание 2:

Сторона треугольника, вписанного в окружность, равна 3 см. Найдите сторону квадрата, описанного около этой окружности.

1. Для треугольника, вписанного в окружность, каждая его сторона равна \( 3 \) см.
2. Радиус окружности \( R \) (вписанный в треугольник) определяется через сторону \( a \) треугольника следующим образом: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \quad \text{(для равностороннего треугольника)} \]
3. Сторона квадрата (описанного около окружности) равна \( D = 2R \): \[ R = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \implies D = 2\sqrt{3} \, \text{см} \]

Ответ: \( 2\sqrt{3} \) см.

Задание 3:

Точки С и Е лежат на окружности с центром О. Градусная мера угла СОЕ равна 45°, ОА=5 м. Найдите длину дуги СЕ.

1. Длина дуги \( CЕ \) рассчитывается по формуле: \[ L = R \cdot \theta \] где \( R = OA = 5 \, \text{м} \) и \( \theta \) — угол в радианах.
2. Переведем градусы в радианы: \[ \theta = \frac{45° \cdot \pi}{180°} = \frac{\pi}{4} \]
3. Теперь подставим значения: \[ L = 5 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \, \text{м} \]

Ответ: \( \frac{5\pi}{4} \) м.

Задание 4:

Найдите площадь круга, вписанного в правильный треугольник со стороной 8 см.

1. Радиус вписанной окружности \( r \) правильного треугольника: \[ r = \frac{a \sqrt{3}}{6}, \quad a = 8 \, \text{см} \] \[ r = \frac{8 \sqrt{3}}{6} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \, \text{см} \]
2. Площадь круга: \[ S = \pi r^2 = \pi \left( \frac{4\sqrt{3}}{3} \right)^2 = \pi \cdot \frac{48}{9} = \frac{16\pi}{3} \, \text{см²} \]

Ответ: \( \frac{16\pi}{3} \) см².

Задание 5:

Найдите площадь сектора, если радиус равен 5 дм, а дуга равна 150°.

1. Площадь сектора \( S \) рассчитывается по формуле: \[ S = \frac{R^2 \cdot \theta}{2} \] где \( \theta \) — угол в радианах: \[ \theta = \frac{150° \cdot \pi}{180°} = \frac{5\pi}{6} \]
2. Подставим данные: \[ S = \frac{5^2 \cdot \frac{5\pi}{6}}{2} = \frac{25 \cdot \frac{5\pi}{6}}{2} = \frac{125\pi}{12} \, \text{дм²} \]

Ответ: \( \frac{125\pi}{12} \) дм².

II часть (4 балла)

Задание 6:

Найдите площадь круга, вписанного в квадрат, если длина окружности, описанной около этого квадрата, равна 20π см.

1. Длина окружности \( C \) квадрата — это \( C = 4a \), где \( a \) — сторона квадрата. Решаем на \( a \): \[ 20\pi = 4a \implies a = 5\pi \, \text{см} \]
2. Радиус вписанной окружности равен \( R = \frac{a}{2} = \frac{5\pi}{2} \).
3. Площадь круга: \[ S = \pi R^2 = \pi \left( \frac{5\pi}{2} \right)^2 = \pi \cdot \frac{25\pi^2}{4} = \frac{25\pi^3}{4} \]

Ответ: \( \frac{25\pi^3}{4} \) см².

Задание 7:

Сколько сторон имеет правильный n-угольник, если каждый его угол равен 135°?

1. Внутренний угол правильного n-угольника рассчитывается по формуле: \[ \alpha = \frac{(n-2) \cdot 180°}{n} \] Условие: \[ \frac{(n-2) \cdot 180°}{n} = 135° \]
2. Умножим обе стороны на \( n \): \[ (n-2) \cdot 180 = 135n \] \[ 180n - 360 = 135n \] \[ 45n = 360 \implies n = 8 \]

Ответ: 8.

III часть (3 балла)

Задание 8:

Вокруг правильного треугольника описана окружность и в нее вписана окружность. Длина меньшей окружности равна 10π см. Найдите длину большей окружности и периметр треугольника.

1. Длина меньшей окружности (вписанная) равна окружности: \[ C_{\text{впис}} = 2\pi r = 10\pi \implies r = 5 \]
2. Для правильного треугольника радиус вписанной окружности выражается как: \[ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \implies 5 = \frac{a \sqrt{3}}{6} \implies a = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3} \]
3. Периметр \( P \) равен: \[ P = 3a = 3 \times 10\sqrt{3} = 30\sqrt{3} \]
4. Длина большей окружности (около правильного треугольника): \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 10 \implies C_{\text{опис}} = 2\pi R = 20\pi \]

Ответ: Длина большей окружности: \( 20\pi \) см, периметр треугольника: \( 30\sqrt{3} \) см.

Теперь у вас есть ответы на все задания. Если есть дополнительные вопросы или необходимость в подробностях, дайте знать!