Давайте разберем все задания по контрольной работе по геометрии, указанной вами.
I часть (5 баллов)
Задание 1:
Найдите диаметр окружности, вписанной в квадрат, площадь которого 12 см².
- Площадь квадрата ( S ) связана со стороной квадрата ( a ) формулой ( S = a^2 ).
- Исходя из площади, можем найти сторону квадрата:
[
a^2 = 12 \implies a = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} , \text{см}
]
- Диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен стороне квадрата:
[
D = a = 2\sqrt{3} , \text{см}
]
Ответ: ( 2\sqrt{3} ) см.
Задание 2:
Сторона треугольника, вписанного в окружность, равна 3 см. Найдите сторону квадрата, описанного около этой окружности.
- Для треугольника, вписанного в окружность, каждая его сторона равна ( 3 ) см.
- Радиус окружности ( R ) (вписанный в треугольник) определяется через сторону ( a ) треугольника следующим образом:
[
R = \frac{a}{\sqrt{3}} \quad \text{(для равностороннего треугольника)}
]
- Сторона квадрата (описанного около окружности) равна ( D = 2R ):
[
R = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \implies D = 2\sqrt{3} , \text{см}
]
Ответ: ( 2\sqrt{3} ) см.
Задание 3:
Точки С и Е лежат на окружности с центром О. Градусная мера угла СОЕ равна 45°, ОА=5 м. Найдите длину дуги СЕ.
- Длина дуги ( CЕ ) рассчитывается по формуле:
[
L = R \cdot \theta
]
где ( R = OA = 5 , \text{м} ) и ( \theta ) — угол в радианах.
- Переведем градусы в радианы:
[
\theta = \frac{45° \cdot \pi}{180°} = \frac{\pi}{4}
]
- Теперь подставим значения:
[
L = 5 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} , \text{м}
]
Ответ: ( \frac{5\pi}{4} ) м.
Задание 4:
Найдите площадь круга, вписанного в правильный треугольник со стороной 8 см.
- Радиус вписанной окружности ( r ) правильного треугольника:
[
r = \frac{a \sqrt{3}}{6}, \quad a = 8 , \text{см}
]
[
r = \frac{8 \sqrt{3}}{6} = \frac{4\sqrt{3}}{3} , \text{см}
]
- Площадь круга:
[
S = \pi r^2 = \pi \left( \frac{4\sqrt{3}}{3} \right)^2 = \pi \cdot \frac{48}{9} = \frac{16\pi}{3} , \text{см²}
]
Ответ: ( \frac{16\pi}{3} ) см².
Задание 5:
Найдите площадь сектора, если радиус равен 5 дм, а дуга равна 150°.
- Площадь сектора ( S ) рассчитывается по формуле:
[
S = \frac{R^2 \cdot \theta}{2}
]
где ( \theta ) — угол в радианах:
[
\theta = \frac{150° \cdot \pi}{180°} = \frac{5\pi}{6}
]
- Подставим данные:
[
S = \frac{5^2 \cdot \frac{5\pi}{6}}{2} = \frac{25 \cdot \frac{5\pi}{6}}{2} = \frac{125\pi}{12} , \text{дм²}
]
Ответ: ( \frac{125\pi}{12} ) дм².
II часть (4 балла)
Задание 6:
Найдите площадь круга, вписанного в квадрат, если длина окружности, описанной около этого квадрата, равна 20π см.
- Длина окружности ( C ) квадрата — это ( C = 4a ), где ( a ) — сторона квадрата. Решаем на ( a ):
[
20\pi = 4a \implies a = 5\pi , \text{см}
]
- Радиус вписанной окружности равен ( R = \frac{a}{2} = \frac{5\pi}{2} ).
- Площадь круга:
[
S = \pi R^2 = \pi \left( \frac{5\pi}{2} \right)^2 = \pi \cdot \frac{25\pi^2}{4} = \frac{25\pi^3}{4}
]
Ответ: ( \frac{25\pi^3}{4} ) см².
Задание 7:
Сколько сторон имеет правильный n-угольник, если каждый его угол равен 135°?
- Внутренний угол правильного n-угольника рассчитывается по формуле:
[
\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180°}{n}
]
Условие:
[
\frac{(n-2) \cdot 180°}{n} = 135°
]
- Умножим обе стороны на ( n ):
[
(n-2) \cdot 180 = 135n
]
[
180n - 360 = 135n
]
[
45n = 360 \implies n = 8
]
Ответ: 8.
III часть (3 балла)
Задание 8:
Вокруг правильного треугольника описана окружность и в нее вписана окружность. Длина меньшей окружности равна 10π см. Найдите длину большей окружности и периметр треугольника.
- Длина меньшей окружности (вписанная) равна окружности:
[
C_{\text{впис}} = 2\pi r = 10\pi \implies r = 5
]
- Для правильного треугольника радиус вписанной окружности выражается как:
[
r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \implies 5 = \frac{a \sqrt{3}}{6} \implies a = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}
]
- Периметр ( P ) равен:
[
P = 3a = 3 \times 10\sqrt{3} = 30\sqrt{3}
]
- Длина большей окружности (около правильного треугольника):
[
R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 10 \implies C_{\text{опис}} = 2\pi R = 20\pi
]
Ответ: Длина большей окружности: ( 20\pi ) см, периметр треугольника: ( 30\sqrt{3} ) см.
Теперь у вас есть ответы на все задания. Если есть дополнительные вопросы или необходимость в подробностях, дайте знать!
