Проверьте, что функция F(x) является первообразной для функции f(x), если F(x)=x-1/x, f(x)=1+x^2/x^2 на x€(- бесконечно; 0), (0;+ бесконечность
Для начала, давайте вспомним, что первообразная функции \( f(x) \) это такая функция \( F(x) \), производная которой равна \( f(x) \). То есть, нам нужно проверить, действительно ли \( F(x) = x - \frac{1}{x} \) является первообразной для функции \( f(x) = 1 + \frac{x^2}{x^2} \).
Сначала упростим функцию \( f(x) \):
\[ f(x) = 1 + \frac{x^2}{x^2} = 1 + 1 = 2 \]
Теперь у нас есть:
- \( F(x) = x - \frac{1}{x} \)
- \( f(x) = 2 \)
Теперь найдем производную \( F(x) \):
\[ F'(x) = \frac{d}{dx}\left(x - \frac{1}{x}\right) \]
Используем правило дифференцирования для каждого слагаемого:
- Производная \( x \) равна 1.
- Для производной \( -\frac{1}{x} \) используем правило производной (для дробей): \[ \frac{d}{dx} \left(-\frac{1}{x}\right) = -\left(-x^{-2}\cdot 1\right) = \frac{1}{x^2} \]
Следовательно, производная \( F'(x) \):
\[ F'(x) = 1 + \frac{1}{x^2} \]
Однако это не равно \( f(x) = 2 \). Значит, функция \( F(x) \) не является первообразной для \( f(x) \).
Теперь давайте проанализируем полученные результаты:
- Вычисления показали, что \( F'(x) = 1 + \frac{1}{x^2} \), что означает, что первообразная \( F(x) \) не производит \( f(x) = 2 \), так как \( F'(x) \) не равна \( f(x) \) в общем случае.
Следовательно, функция \( F(x) = x - \frac{1}{x} \) не является первообразной для функции \( f(x) = 2 \) на заданном интервале \( x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \).
Вывод:
Функция \( F(x) = x - \frac{1}{x} \) не является первообразной для функции \( f(x) = 1 + \frac{x^2}{x^2} \) (или \( f(x) = 2 \)), так как их производные не совпадают.
