Чтобы понять, во сколько раз отличаются энергетические светимости двух абсолютно чёрных тел при различии их температур в 4 раза, нам нужно использовать закон Стефана-Больцмана.
Закон Стефана-Больцмана
Закон Стефана-Больцмана гласит, что энергетическая светимость ( L ) абсолютно чёрного тела пропорциональна четвёртой степени его температуры ( T ):
[
L = \sigma T^4
]
где ( \sigma ) — это постоянная Стефана-Больцмана (примерно ( 5.67 \times 10^{-8} , \text{Вт/(м}^2\text{K}^4) )).
Условия задачи
Пусть у нас есть два абсолютно чёрных тела:
- Первое тело имеет температуру ( T_1 ).
- Второе тело имеет температуру ( T_2 ).
Согласно условию задачи, температуры отличаются в 4 раза, то есть:
[
T_2 = 4 T_1
]
Запись светимости для обоих тел
Для первого тела:
[
L_1 = \sigma T_1^4
]
Для второго тела:
[
L_2 = \sigma T_2^4 = \sigma (4 T_1)^4
]
Упрощение выражения для ( L_2 )
Теперь давайте упростим ( L_2 ):
[
L_2 = \sigma (4 T_1)^4 = \sigma \cdot 4^4 \cdot T_1^4
]
[
= \sigma \cdot 256 \cdot T_1^4
]
[
= 256 \cdot \sigma T_1^4
]
[
= 256 L_1
]
Заключение
Теперь мы можем увидеть, во сколько раз отличаются светимости:
[
\frac{L_2}{L_1} = 256
]
Таким образом, энергетические светимости двух абсолютно чёрных тел отличаются в 256 раз, когда их температуры отличаются в 4 раза.
