Найдите третий член и сумму первых четырёх членов геометрической прогрессии (bn), если b1 = –1/25 и q = 5.

Чтобы решить задачу, давайте разберем, что такое геометрическая прогрессия и как находить её члены.

Определение геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего члена на постоянное число, называемое знаменателем прогрессии (в данной задаче это q).

Данные задачи

• Первый член прогрессии (b1) = -1/25
• Знаменатель прогрессии (q) = 5

Нахождение третьего члена

Формула для n-го члена геометрической прогрессии выглядит следующим образом: \[ b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)} \] где \( n \) — номер члена прогрессии.

Для нахождения третьего члена (b3): \[ b_3 = b_1 \cdot q^{(3-1)} = b_1 \cdot q^2 \]

Подставляем значения: \[ b_3 = -\frac{1}{25} \cdot 5^2 \] \[ 5^2 = 25 \] Затем: \[ b_3 = -\frac{1}{25} \cdot 25 = -1 \]

Нахождение суммы первых четырех членов

Теперь найдем сумму первых четырех членов прогрессии. Сумма S_n первых n членов геометрической прогрессии рассчитывается по формуле: \[ S_n = b_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad \text{(если } q \neq 1\text{)} \] Подставим n = 4 в формулу: \[ S_4 = b_1 \cdot \frac{1 - q^4}{1 - q} \] Подставляя известные значения: \[ S_4 = -\frac{1}{25} \cdot \frac{1 - 5^4}{1 - 5} \]

Посчитаем \( 5^4 \): \[ 5^4 = 625 \] Теперь подставим: \[ S_4 = -\frac{1}{25} \cdot \frac{1 - 625}{1 - 5} \] Упростим: \[ S_4 = -\frac{1}{25} \cdot \frac{1 - 625}{-4} = -\frac{1}{25} \cdot \frac{-624}{-4} \] \[ = -\frac{1}{25} \cdot 156 = -\frac{156}{25} \]

Итожим результаты

• Третий член прогрессии (b3): -1
• Сумма первых четырех членов (S4): -\(\frac{156}{25}\) или -6,24 (если перевести в десятичную дробь).

Если вам нужно что-то уточнить или объяснить подробнее, дайте знать!