1
Давай разберем каждую задачу по очереди.
1. Выполните умножение многочленов: \((a^2 + b)(a - b^3)\).
Для умножения многочленов воспользуемся распределительным законом:
\[ (a^2 + b)(a - b^3) = a^2 \cdot a + a^2 \cdot (-b^3) + b \cdot a + b \cdot (-b^3). \]
Раскроем скобки:
\[ = a^3 - a^2b^3 + ab - b^4. \]
Таким образом, результат умножения: \(a^3 - a^2b^3 + ab - b^4\).
2. Выполните умножение многочленов: \((3a - b)(a + 4b)\).
Воспользуемся распределительным законом:
\[ (3a - b)(a + 4b) = 3a \cdot a + 3a \cdot 4b - b \cdot a - b \cdot 4b. \]
Раскроем скобки:
\[ = 3a^2 + 12ab - ab - 4b^2. \]
Упростим выражение, приведя подобные:
\[ = 3a^2 + 11ab - 4b^2. \]
Таким образом, результатом будет: \(3a^2 + 11ab - 4b^2\).
3. Упростите выражение: \((x - 2)(x + 3) - x(x + 1) + (x + 5)(x - 1)\).
Раскроем все скобки:
- \((x - 2)(x + 3) = x^2 + 3x - 2x - 6 = x^2 + x - 6\).
- \(-x(x + 1) = -x^2 - x\).
- \((x + 5)(x - 1) = x^2 - x + 5x - 5 = x^2 + 4x - 5\).
Теперь сложим все части:
\[ (x^2 + x - 6) - (x^2 + x) + (x^2 + 4x - 5). \]
Упростим, приведя подобные:
\[ x^2 + x - 6 - x^2 - x + x^2 + 4x - 5 = x^2 + 4x - 11. \]
4. Верно ли равенство: \( (m^3 - 3m + 1)(m^3 + 3m + 1) = m^6 + 1 \)?
Рассмотрим, по какому правилу происходит умножение:
Это выражение имеет вид \((a - b)(a + b)\), где \(a = m^3 + 1\) и \(b = 3m\). По формуле разности квадратов \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\).
Подставим:
\[ a^2 - b^2 = (m^3 + 1)^2 - (3m)^2. \]
Раскроем:
\[ = (m^6 + 2m^3 + 1) - 9m^2. \]
Таким образом, это не равно \(m^6 + 1\). Выражение не соответствует приведенному равенству.
