Треугольник abc,bc-биссектриса. периметр abc=91,AB=32,Bc=20. найди стороны ad,dc

Чтобы решить задачу, сначала вспомним, что биссектрисой треугольника называется отрезок, который делит угол на две равные части. У нас есть треугольник ABC, где BC — биссектрисa угла A, периметр треугольника ABC равен 91, а стороны AB и AC известны. Дадим обозначения: - \( AB = c = 32 \) - \( AC = b = 20 \) - \( BC = a \) (сторона, которую нам нужно найти) 1. **Найдем сторону BC.** Периметр треугольника ABC равен сумме всех его сторон: \[ AB + AC + BC = 91 \] Подставим известные значения: \[ 32 + 20 + a = 91 \] Решим это уравнение: \[ 52 + a = 91 \] \[ a = 91 - 52 = 39 \] Таким образом, сторона \( BC = a = 39 \). 2. **Используем свойства биссектрисы.** Пусть \( D \) — точка пересечения биссектрисы с стороной \( BC \). По свойству биссектрисы: \[ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \] Позначим \( BD = x \) и \( DC = y \). Тогда: \[ x + y = BC = 39 \] И известные длины сторон: \[ \frac{32}{20} = \frac{x}{y} \] Перепишем это уравнение: \[ 32y = 20x \] Или: \[ \frac{x}{y} = \frac{32}{20} = \frac{8}{5} \] Теперь выразим \( x \) через \( y \): \[ x = \frac{8}{5}y \] 3. **Подставим значение x в уравнение для стороны BC.** \[ \frac{8}{5}y + y = 39 \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{8y + 5y}{5} = 39 \] Упростим: \[ \frac{13y}{5} = 39 \] Умножим обе стороны на 5: \[ 13y = 195 \] Разделим на 13: \[ y = \frac{195}{13} = 15 \] Теперь найдем \( x \): \[ x = 39 - y = 39 - 15 = 24 \] Таким образом, стороны \( AD \) и \( DC \) равны: - \( BD = x = 24 \) - \( DC = y = 15 \) ### Ответ \( BD = 24 \), \( DC = 15 \).