Мы имеем задачу, связанную с вероятностью, где необходимо найти вероятность того, что в партии из 10 деталей будет ровно 5 деталей с отклонением от номинала при вероятности отклонения 0,4. Это задача может быть решена с помощью биномиального распределения.
Шаг 1: Определим параметры задачи
- n (общее количество испытаний) = 10 (количество деталей).
- k (количество успехов) = 5 (количество деталей с отклонением).
- p (вероятность успеха) = 0,4 (вероятность того, что деталь с отклонением).
Шаг 2: Формула биномиального распределения
Вероятность того, что в n испытаниях произойдет ровно k успехов (в нашем случае — деталей с отклонением) рассчитывается по формуле биномиального распределения:
[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} ]
где ( C(n, k) ) — коэффициент биномиального распределения, который можно вычислить как:
[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ]
Шаг 3: Подставим значения
Вычисляем ( C(10, 5) ):
[
C(10, 5) = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252
]
Вычисляем ( p^k ) и ( (1-p)^{n-k} ):
[
p^k = (0,4)^5 = 0,4 \times 0,4 \times 0,4 \times 0,4 \times 0,4 = 0,01024
]
[
(1-p)^{n-k} = (0,6)^{10-5} = (0,6)^5 = 0,07776
]
Шаг 4: Соберем всё вместе
Теперь подставим все вычисленные значения в формулу:
[
P(X = 5) = C(10, 5) \cdot p^5 \cdot (1-p)^{5} = 252 \cdot 0,01024 \cdot 0,07776
]
Чтобы посчитать это, сначала умножим:
[
252 \cdot 0,01024 \approx 2,58048
]
Теперь умножим на 0,07776:
[
2,58048 \cdot 0,07776 \approx 0,200658
]
Шаг 5: Ответ
Таким образом, вероятность того, что в партии из 10 деталей будет 5 деталей с отклонением от номинала, составляет примерно 0,2007 или 20,07%.
