Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций y = cos 5x и y = cos 7x
Чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков функций \( y = \cos(5x) \) и \( y = \cos(7x) \), нам нужно решить уравнение:
\[ \cos(5x) = \cos(7x). \]
Шаг 1: Использовать свойство косинуса
Мы знаем, что если \( \cos(A) = \cos(B) \), то:
\[ A = B + 2k\pi \quad \text{или} \quad A = -B + 2k\pi, \]
где \( k \) — это целое число ( \( k \in \mathbb{Z} \) ).
Шаг 2: Применить свойство к нашему уравнению
Подставим \( A = 5x \) и \( B = 7x \).
Первый случай:
\[ 5x = 7x + 2k\pi. \]
Перепишем уравнение: \[ 5x - 7x = 2k\pi \implies -2x = 2k\pi \implies x = -k\pi. \]
Второй случай:
\[ 5x = -7x + 2k\pi. \]
Перепишем это уравнение: \[ 5x + 7x = 2k\pi \implies 12x = 2k\pi \implies x = \frac{k\pi}{6}. \]
Шаг 3: Составить общий вид решений
Теперь у нас есть два типа абсцисс, где графики пересекаются:
- \( x = -k\pi \) (для \( k \in \mathbb{Z} \))
- \( x = \frac{k\pi}{6} \) (для \( k \in \mathbb{Z} \))
Шаг 4: Вывод
Таким образом, абсциссы точек пересечения графиков функций \( y = \cos(5x) \) и \( y = \cos(7x) \) имеют вид:
- \( x = -k\pi \) и \( x = \frac{k\pi}{6} \), где \( k \) — любое целое число.
Эти уравнения представляют собой все возможные точки пересечения данных графиков.
