Давайте разберем задачу пошагово.
Условие задачи:
Первый юноша забросил 2 мяча. Каждый следующий юноша забрасывает на 3 мяча больше, чем предыдущий. Нам нужно узнать, сколько юношей участвовало в соревнованиях, если в корзину было заброшено 242 мяча.
Шаг 1: Определение последовательности
В данной задаче мы имеем арифметическую прогрессию, где:
- Первый член (количество мячей, заброшенных первым юношей) ( a_1 = 2 )
- Разность прогрессии (на сколько мячей больше каждый следующий юноша забрасывает) ( d = 3 )
Количество мячей, которое забрасывает n-ый юноша, выражается формулой:
[
a_n = a_1 + (n-1) \cdot d
]
Шаг 2: Поиск суммы первых n членов
Сумма S n членов арифметической прогрессии рассчитывается по формуле:
[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)
]
где ( a_n ) — это количество мячей, заброшенных n-ым юношей.
Также можно выразить сумму как:
[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (2 + a_1 + (n-1) \cdot d) = \frac{n}{2} \cdot \left( 2 + 2 + (n-1) \cdot 3 \right) = \frac{n}{2} \cdot \left( 4 + 3(n - 1) \right)
]
Сначала упростим:
[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (3n + 1)
]
Шаг 3: Установка уравнения
Теперь, так как всего было заброшено 242 мяча, мы можем записать уравнение:
[
\frac{n}{2} \cdot (3n + 1) = 242
]
Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:
[
n(3n + 1) = 484
]
Шаг 4: Преобразование уравнения
Раскроем скобки:
[
3n^2 + n - 484 = 0
]
Теперь можно решить квадратное уравнение. Используем дисриминант:
[
D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-484) = 1 + 5816 = 5817
]
Шаг 5: Найдем ( n )
Теперь найдем корни уравнения:
[
n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{5817}}{6}
]
Сначала найдем ( \sqrt{5817} ):
Приблизительно это 76.2, подставим в формулу:
[
n = \frac{-1 \pm 76.2}{6}
]
Теперь найдём два значения:
- ( n_1 = \frac{75.2}{6} \approx 12.53 ) (неподходящее, n должно быть целым)
- ( n_2 = \frac{-77.2}{6} ) (отрицательное значение, не подходит)
Тогда будем искать ближайшие целые значения, подходящие к уравнению ( 3n^2 + n - 484 = 0 ).
Проверка
Подберем целое значение для n:
- Если ( n = 12 ):
[
S_{12} = \frac{12}{2} \cdot (3 \cdot 12 + 1) = 6 \cdot (36 + 1) = 6 \cdot 37 = 222 \quad (\text{мало})
]
- Если ( n = 13 ):
[
S_{13} = \frac{13}{2} \cdot (3 \cdot 13 + 1) = \frac{13}{2} \cdot (39 + 1) = \frac{13 \cdot 40}{2} = 260 \quad (\text{много})
]
Путем подбора приходит к выводу, что 13 юношей не было, так как 260 - это слишком много, но 12 не достаточно.
Ответ: Участников, которые поочередно забрасывали мячи до 242 - 12 юношей.
