Для решения этой задачи нам нужно использовать свойства прямоугольного треугольника. Прямоугольный треугольник с углом 30° имеет свои особенности, которые помогут нам найти искомую медиану.
Шаг 1: Определим элементы треугольника.
В данном прямоугольном треугольнике:
- Один угол равен 30°.
- Сторона, лежащая против этого угла (напротив 30°), равна 10 см. Мы обозначим её как ( a = 10 ) см.
- Гипотенуза (( c )) в прямоугольном треугольнике, где один угол составляет 30°, в два раза больше противолежащей стороны:
[
c = 2a = 2 \cdot 10 = 20 \text{ см.}
]
Шаг 2: Найдем вторую сторону.
Сторона, лежащая против угла 60° (второй острый угол в треугольнике), можно найти с помощью соотношения в прямоугольном треугольнике. Эта сторона (( b )) будет равна:
[
b = a \cdot \sqrt{3} = 10 \cdot \sqrt{3} \approx 17.32 \text{ см.}
]
Шаг 3: Найдем медиану к гипотенузе.
Медиана, проведенная из вершины к гипотенузе, делит её пополам. Длина медианы ( m_c ) к гипотенузе вычисляется по формуле:
[
m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}
]
Подставляем значения (где ( a = 10 ) см, ( b = 10\sqrt{3} ) см и ( c = 20 ) см):
[
m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot (10)^2 + 2 \cdot (10\sqrt{3})^2 - (20)^2}
]
Посчитаем каждый элемент:
- ( 2 \cdot (10)^2 = 2 \cdot 100 = 200 )
- ( 2 \cdot (10\sqrt{3})^2 = 2 \cdot 300 = 600 )
- ( (20)^2 = 400 )
Теперь подставим это в формулу:
[
m_c = \frac{1}{2} \sqrt{200 + 600 - 400} = \frac{1}{2} \sqrt{400}
]
Таким образом:
[
m_c = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10 \text{ см.}
]
Ответ: Длина медианы к гипотенузе равна 10 см.
