прямоугольного треугольника лежащий против угла 30° равен 10 см Найдите медиану этого треугольника проведённую к гипотенузе
Для решения этой задачи нам нужно использовать свойства прямоугольного треугольника. Прямоугольный треугольник с углом 30° имеет свои особенности, которые помогут нам найти искомую медиану.
Шаг 1: Определим элементы треугольника.
В данном прямоугольном треугольнике:
- Один угол равен 30°.
- Сторона, лежащая против этого угла (напротив 30°), равна 10 см. Мы обозначим её как \( a = 10 \) см.
- Гипотенуза (\( c \)) в прямоугольном треугольнике, где один угол составляет 30°, в два раза больше противолежащей стороны:
\[ c = 2a = 2 \cdot 10 = 20 \text{ см.} \]
Шаг 2: Найдем вторую сторону.
Сторона, лежащая против угла 60° (второй острый угол в треугольнике), можно найти с помощью соотношения в прямоугольном треугольнике. Эта сторона (\( b \)) будет равна:
\[ b = a \cdot \sqrt{3} = 10 \cdot \sqrt{3} \approx 17.32 \text{ см.} \]
Шаг 3: Найдем медиану к гипотенузе.
Медиана, проведенная из вершины к гипотенузе, делит её пополам. Длина медианы \( m_c \) к гипотенузе вычисляется по формуле:
\[ m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2} \]
Подставляем значения (где \( a = 10 \) см, \( b = 10\sqrt{3} \) см и \( c = 20 \) см):
\[ m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot (10)^2 + 2 \cdot (10\sqrt{3})^2 - (20)^2} \]
Посчитаем каждый элемент:
- \( 2 \cdot (10)^2 = 2 \cdot 100 = 200 \)
- \( 2 \cdot (10\sqrt{3})^2 = 2 \cdot 300 = 600 \)
- \( (20)^2 = 400 \)
Теперь подставим это в формулу:
\[ m_c = \frac{1}{2} \sqrt{200 + 600 - 400} = \frac{1}{2} \sqrt{400} \]
Таким образом:
\[ m_c = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10 \text{ см.} \]
Ответ: Длина медианы к гипотенузе равна 10 см.
