Давайте разберем задачи по порядку. У нас есть несколько функций и вопросы, связанные с ними. Начнем с первой функции ( f(x) = - (x + 3)^7 + 4 ).
1. Анализ функции ( f(x) = - (x + 3)^7 + 4 )
а) Определение вершины параболы
Функция ( f(x) ) является многочленом с нечетной степенью, поэтому график не является параболой (в отличие от квадратичных функций), а напоминает "S"-образную кривую. Но можем определить точку, где функция достигает максимума, так как коэффициент при ( (x + 3)^7 ) отрицателен.
Максимум функции будет в точке ( x = -3 ):
- ( f(-3) = -(-3 + 3)^7 + 4 = 4 )
Таким образом, точка максимума: ( (-3, 4) ).
б) Основание симметрии
Функция несимметрична, так как степень нечетная и имеет отрицательный коэффициент.
в) Пересечение с осями
Для пересечения с осью Y (когда ( x = 0 )):
[
f(0) = - (0 + 3)^7 + 4 = -2187 + 4 = -2183
]
Следовательно, точка пересечения с осью Y: ( (0, -2183) ).
Для пересечения с осью X (найдем ( f(x) = 0 )):
[
- (x + 3)^7 + 4 = 0 \implies (x + 3)^7 = 4
]
Тогда:
[
x + 3 = 4^{1/7} \quad \implies \quad x = 4^{1/7} - 3
]
Это приблизительно ( -2.664 ). То есть одна из точек пересечения с осью X: ((4^{1/7} - 3, 0)).
г) Эскиз графика функции
График будет иметь форму, характерную для функций с нечетной степенью, с одной максимальной точкой в ((-3, 4)) и будет уменьшаться слева и справа от этой точки.
д) Направление ветвей параболы
Радиус кривизны определен отрицательным знаком перед ( (x + 3)^7 ), что говорит о том, что график функции открывается вниз.
2. Функция ( y = -x^2 + 7x + 30 )
а) Найти ( f(3) ) и ( f(-2) ):
- ( f(3) = -3^2 + 7 \cdot 3 + 30 = -9 + 21 + 30 = 42 )
- ( f(-2) = -(-2)^2 + 7 \cdot (-2) + 30 = -4 - 14 + 30 = 12 )
б) Найти ( x ):
Если график проходит через точку ( (x, 30) ):
[
30 = -x^2 + 7x + 30 \implies -x^2 + 7x = 0 \implies x(-x + 7) = 0
]
Значит, ( x = 0 ) или ( x = 7 ).
в) Проверка точек A и B
Для точки A(-1, -8):
[
f(-1) = -(-1)^2 + 7 \cdot (-1) + 30 = -1 - 7 + 30 = 22
] (не принадлежит)
Для точки B(-4, 14):
[
f(-4) = -(-4)^2 + 7 \cdot (-4) + 30 = -16 - 28 + 30 = -14
] (не принадлежит)
г) Увеличение и уменьшение функции
График функции ( y = -x^2 + 7x + 30 ) — это парабола, направленная вниз. Находящийся её максимум в вершине, можно найти по формуле:
[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{7}{2 \cdot (-1)} = \frac{7}{2}
]
Таким образом, функция возрастает на интервале ( (-\infty, 3.5) ) и убывает на интервале ( (3.5, \infty) ).
3. Функция ( h(t) = 5 + 2t - t^2 )
1) Когда мяч достигает 6 м?
[
6 = 5 + 2t - t^2 \implies t^2 - 2t - 1 = 0
]
Решаем квадратное уравнение:
[
t = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}
]
Это будут два момента времени — около 0.586 сек и 2.414 сек.
2) Высота на 3 секунд:
[
h(3) = 5 + 2 \cdot 3 - 3^2 = 5 + 6 - 9 = 2
]
3) В каком квадранте находится график?
График параболы, направленной вниз, так что он пересекает ось Y в значении 5 ( (t = 0) ). Конечные точки, определяющие ширину диапазона, находятся на значениях (t), когда (h(t) = 0).
Таким образом, можно утверждать, что график функции (h(t)) лежит в первом и втором квадрантах.
Если у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте знать!
