N П нұсқа Берілген f(x) = - (x + 3) ^ 7 + 4 функциясы үшін: а) парабола төбесін анықтаңдар, 6) параболанын симметрия осін табыныз: с) ОХ және ОУ осьтерімен қиылысу нүктелерін…

Давайте разберем задачи по порядку. У нас есть несколько функций и вопросы, связанные с ними. Начнем с первой функции \( f(x) = - (x + 3)^7 + 4 \).

1. Анализ функции \( f(x) = - (x + 3)^7 + 4 \)

а) Определение вершины параболы

Функция \( f(x) \) является многочленом с нечетной степенью, поэтому график не является параболой (в отличие от квадратичных функций), а напоминает "S"-образную кривую. Но можем определить точку, где функция достигает максимума, так как коэффициент при \( (x + 3)^7 \) отрицателен.

Максимум функции будет в точке \( x = -3 \):

• \( f(-3) = -(-3 + 3)^7 + 4 = 4 \)

Таким образом, точка максимума: \( (-3, 4) \).

б) Основание симметрии

Функция несимметрична, так как степень нечетная и имеет отрицательный коэффициент.

в) Пересечение с осями

• Для пересечения с осью Y (когда \( x = 0 \)): \[ f(0) = - (0 + 3)^7 + 4 = -2187 + 4 = -2183 \] Следовательно, точка пересечения с осью Y: \( (0, -2183) \).

• Для пересечения с осью X (найдем \( f(x) = 0 \)): \[ - (x + 3)^7 + 4 = 0 \implies (x + 3)^7 = 4 \] Тогда: \[ x + 3 = 4^{1/7} \quad \implies \quad x = 4^{1/7} - 3 \] Это приблизительно \( -2.664 \). То есть одна из точек пересечения с осью X: \((4^{1/7} - 3, 0)\).

г) Эскиз графика функции

График будет иметь форму, характерную для функций с нечетной степенью, с одной максимальной точкой в \((-3, 4)\) и будет уменьшаться слева и справа от этой точки.

д) Направление ветвей параболы

Радиус кривизны определен отрицательным знаком перед \( (x + 3)^7 \), что говорит о том, что график функции открывается вниз.

2. Функция \( y = -x^2 + 7x + 30 \)

а) Найти \( f(3) \) и \( f(-2) \):

• \( f(3) = -3^2 + 7 \cdot 3 + 30 = -9 + 21 + 30 = 42 \)
• \( f(-2) = -(-2)^2 + 7 \cdot (-2) + 30 = -4 - 14 + 30 = 12 \)

б) Найти \( x \):

Если график проходит через точку \( (x, 30) \): \[ 30 = -x^2 + 7x + 30 \implies -x^2 + 7x = 0 \implies x(-x + 7) = 0 \] Значит, \( x = 0 \) или \( x = 7 \).

в) Проверка точек A и B

• Для точки A(-1, -8): \[ f(-1) = -(-1)^2 + 7 \cdot (-1) + 30 = -1 - 7 + 30 = 22 \] (не принадлежит)

• Для точки B(-4, 14): \[ f(-4) = -(-4)^2 + 7 \cdot (-4) + 30 = -16 - 28 + 30 = -14 \] (не принадлежит)

г) Увеличение и уменьшение функции

График функции \( y = -x^2 + 7x + 30 \) — это парабола, направленная вниз. Находящийся её максимум в вершине, можно найти по формуле: \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{7}{2 \cdot (-1)} = \frac{7}{2} \] Таким образом, функция возрастает на интервале \( (-\infty, 3.5) \) и убывает на интервале \( (3.5, \infty) \).

3. Функция \( h(t) = 5 + 2t - t^2 \)

1) Когда мяч достигает 6 м?

\[ 6 = 5 + 2t - t^2 \implies t^2 - 2t - 1 = 0 \] Решаем квадратное уравнение: \[ t = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2} \] Это будут два момента времени — около 0.586 сек и 2.414 сек.

2) Высота на 3 секунд:

\[ h(3) = 5 + 2 \cdot 3 - 3^2 = 5 + 6 - 9 = 2 \]

3) В каком квадранте находится график?

График параболы, направленной вниз, так что он пересекает ось Y в значении 5 ( \(t = 0\) ). Конечные точки, определяющие ширину диапазона, находятся на значениях \(t\), когда \(h(t) = 0\).

Таким образом, можно утверждать, что график функции \(h(t)\) лежит в первом и втором квадрантах.

Если у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте знать!