1) Всего в классе 20 человек. 11 из них ходят на кружок по рисованию, 8 - на кружок по математике, а один не ходит ни на один из кружков. Найдите вероятность того, что случайно выбранный ученик класса ходит на оба кружка.
2) В классе 28 учеников. На уроке им задали три задачи. Каждую задачу решили по 9 учеников. Каждую пару задач решили по 4 ученика. Кроме того, один ученик решил все три задачи.
a) Сколько учеников не решило ни одной задачи?
б) Какова вероятность, что ученик решил 1 и 3 задачу, а 2 не решил?
b) Какова вероятность, что ученик решил только 1 задачу?
г) Какова вероятность, что ученик решили 1 и/или 3 задачу, а 2 не решил?
### Задача 1
**Условие:** В классе 20 человек. 11 из них ходят на кружок по рисованию, 8 - на кружок по математике, а один не ходит ни на один из кружков. Найдите вероятность того, что случайно выбранный ученик класса ходит на оба кружка.
**Решение:**
1. **Определим количество учащихся, которые занимаются кружками.**
- Всего учеников: 20
- Учащиеся, которые не ходят ни на один кружок: 1
- Значит, количество учащихся, которые ходят на хотя бы один кружок: \(20 - 1 = 19\).
2. **Обозначим количество учащихся, которые ходят на кружок по рисованию и математике.**
- Пусть:
- \(A\) - количество учащихся, занимающихся рисованием = 11
- \(B\) - количество учащихся, занимающихся математикой = 8
- \(x\) - количество учащихся, занимающихся обоими кружками.
3. **Используем формулу объединения множеств.**
\[
|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|
\]
где \(|A \cup B|\) - количество учащихся, занимающихся хотя бы одним кружком.
Подставляем известные значения:
\[
19 = 11 + 8 - x
\]
4. **Решаем уравнение.**
\[
19 = 19 - x
\]
\[
x = 0
\]
Это значит, что в классе нет учащихся, которые ходят на оба кружка.
5. **Вероятность того, что случайно выбранный ученик ходит на оба кружка.**
\[
P(A \cap B) = \frac{x}{20} = \frac{0}{20} = 0
\]
Таким образом, вероятность того, что случайно выбранный ученик ходит на оба кружка, равна **0**.
---
### Задача 2
**Условие:** В классе 28 учеников. На уроке им задали три задачи. Каждую задачу решили по 9 учеников. Каждую пару задач решили по 4 ученика. Кроме того, один ученик решил все три задачи.
**a)** Сколько учеников не решило ни одной задачи?
**Решение:**
1. **Обозначения и данные:**
- Число учеников, решивших каждую задачу: \( |A| = |B| = |C| = 9 \)
- Число учеников, решивших каждую пару задач: \( |A \cap B| = |A \cap C| = |B \cap C| = 4 \)
- Число учеников, решивших все три задачи: \( |A \cap B \cap C| = 1 \)
2. **Формула включения-исключения:**
\[
|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|
\]
3. **Подставляем известные значения:**
\[
|A \cup B \cup C| = 9 + 9 + 9 - 4 - 4 - 4 + 1
\]
\[
= 27 - 12 + 1 = 16
\]
4. **Количество учеников, которые не решали ни одной задачи:**
\[
28 - |A \cup B \cup C| = 28 - 16 = 12
\]
Ответ: **12 учеников не решило ни одной задачи.**
---
**б)** Какова вероятность, что ученик решил 1 и 3 задачу, а 2 не решил?
**Решение:**
1. **Определим количество учеников, решивших 1 и 3 задачи, но не решивших 2.**
- Обозначим:
- \(x\) - количество учеников, которые решили 1 и 3 задачи и не решали 2.
Из условия задачи, у нас есть 1 ученик, который решил все три задачи, и 4 ученика, решившие каждую пару (включая 1 и 3).
Давайте предположим, что \(x = 4 - 1 = 3\).
2. **Вероятность:**
\[
P = \frac{x}{28} = \frac{3}{28}
\]
---
**в)** Какова вероятность, что ученик решил только 1 задачу?
**Решение:**
1. **Определим количество учеников, решивших только 1 задачу.**
- Обозначим:
- \(y\) - количество учеников, которые решили только 1 задачу.
2. **Используем количество решивших 1 задачу: 9.**
\[
|A| = y + (кол-во решивших 1 и 2 + 1 (все 3 задачи) + кол-во решивших 1 и 3) + кол-во решивших только 2 задачи +
\]
Чтобы упростить, пусть мы знаем количество решений.
3. **Таким образом, у нас есть только 3, которые решили 1 и 3 и 4 - количество решивших 2.**
Оценив, для прямой задачи, нам нужно (-4).
4. **Вероятность:**
Поскольку решение требует проверки, мы возьмем \(y\), чтобы обойти через уникальные такие:
\[
P = \frac{4 - 1 - (4 + 1 + 3)}{28} = \frac{0}{28} = 0
\]
---
**г)** Какова вероятность, что ученик решил 1 и/или 3 задачу, а 2 не решил?
**Решение:**
1. **Рассмотрим количество учеников, решивших 1 и/или 3.**
- Решившие только 1: \(y\)
- Решившие только 3: \(z\)
- Решившие и 1, и 3, но не 2: \(x = 3\)
2. **Обозначим количество, решивших 1 или 3, но не 2.**
\[
|A \cup C| = |A| + |C| - |A \cap C| = y + z + 3
\]
Необходимо учесть все.
И в итогу вероятность будет равна:
\[
P = \frac{Количество решивших 1 и 3 + y + z +3}{28}
\]
В завершении, такими превращениями мы можем понять, что будут выходами на итоговых шансах.
Ответы:
1. a) 12.
2. б) \(\frac{3}{28}\)
3. в) \(\frac{0}{28} = 0\)
4. г) Может выйти в рамках 0 и позиций визуально.
