1) Всего в классе 20 человек. 11 из них ходят на кружок по рисованию, 8 - на кружок по математике, а один не ходит ни на один из кружков. Найдите вероятность того, что случайно…

Задача 1

Условие: В классе 20 человек. 11 из них ходят на кружок по рисованию, 8 - на кружок по математике, а один не ходит ни на один из кружков. Найдите вероятность того, что случайно выбранный ученик класса ходит на оба кружка.

Решение:

1. Определим количество учащихся, которые занимаются кружками.

   • Всего учеников: 20
   • Учащиеся, которые не ходят ни на один кружок: 1
   • Значит, количество учащихся, которые ходят на хотя бы один кружок: \(20 - 1 = 19\).

2. Обозначим количество учащихся, которые ходят на кружок по рисованию и математике.

   • Пусть:
     • \(A\) - количество учащихся, занимающихся рисованием = 11
     • \(B\) - количество учащихся, занимающихся математикой = 8
     • \(x\) - количество учащихся, занимающихся обоими кружками.

3. Используем формулу объединения множеств. \[ |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \] где \(|A \cup B|\) - количество учащихся, занимающихся хотя бы одним кружком.

   Подставляем известные значения: \[ 19 = 11 + 8 - x \]

4. Решаем уравнение. \[ 19 = 19 - x \] \[ x = 0 \] Это значит, что в классе нет учащихся, которые ходят на оба кружка.

5. Вероятность того, что случайно выбранный ученик ходит на оба кружка. \[ P(A \cap B) = \frac{x}{20} = \frac{0}{20} = 0 \]

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранный ученик ходит на оба кружка, равна 0.

Задача 2

Условие: В классе 28 учеников. На уроке им задали три задачи. Каждую задачу решили по 9 учеников. Каждую пару задач решили по 4 ученика. Кроме того, один ученик решил все три задачи.

a) Сколько учеников не решило ни одной задачи?

Решение:

1. Обозначения и данные:

   • Число учеников, решивших каждую задачу: \( |A| = |B| = |C| = 9 \)
   • Число учеников, решивших каждую пару задач: \( |A \cap B| = |A \cap C| = |B \cap C| = 4 \)
   • Число учеников, решивших все три задачи: \( |A \cap B \cap C| = 1 \)

2. Формула включения-исключения: \[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| \]

3. Подставляем известные значения: \[ |A \cup B \cup C| = 9 + 9 + 9 - 4 - 4 - 4 + 1 \] \[ = 27 - 12 + 1 = 16 \]

4. Количество учеников, которые не решали ни одной задачи: \[ 28 - |A \cup B \cup C| = 28 - 16 = 12 \]

Ответ: 12 учеников не решило ни одной задачи.

б) Какова вероятность, что ученик решил 1 и 3 задачу, а 2 не решил?

Решение:

1. Определим количество учеников, решивших 1 и 3 задачи, но не решивших 2.

   • Обозначим:
     • \(x\) - количество учеников, которые решили 1 и 3 задачи и не решали 2.

   Из условия задачи, у нас есть 1 ученик, который решил все три задачи, и 4 ученика, решившие каждую пару (включая 1 и 3). Давайте предположим, что \(x = 4 - 1 = 3\).

2. Вероятность: \[ P = \frac{x}{28} = \frac{3}{28} \]

в) Какова вероятность, что ученик решил только 1 задачу?

Решение:

1. Определим количество учеников, решивших только 1 задачу.

   • Обозначим:
     • \(y\) - количество учеников, которые решили только 1 задачу.

2. Используем количество решивших 1 задачу: 9. \[ |A| = y + (кол-во решивших 1 и 2 + 1 (все 3 задачи) + кол-во решивших 1 и 3) + кол-во решивших только 2 задачи + \] Чтобы упростить, пусть мы знаем количество решений.

3. Таким образом, у нас есть только 3, которые решили 1 и 3 и 4 - количество решивших 2. Оценив, для прямой задачи, нам нужно (-4).

4. Вероятность: Поскольку решение требует проверки, мы возьмем \(y\), чтобы обойти через уникальные такие: \[ P = \frac{4 - 1 - (4 + 1 + 3)}{28} = \frac{0}{28} = 0 \]

г) Какова вероятность, что ученик решил 1 и/или 3 задачу, а 2 не решил?

Решение:

1. Рассмотрим количество учеников, решивших 1 и/или 3.

   • Решившие только 1: \(y\)
   • Решившие только 3: \(z\)
   • Решившие и 1, и 3, но не 2: \(x = 3\)

2. Обозначим количество, решивших 1 или 3, но не 2. \[ |A \cup C| = |A| + |C| - |A \cap C| = y + z + 3 \] Необходимо учесть все.

И в итогу вероятность будет равна: \[ P = \frac{Количество решивших 1 и 3 + y + z +3}{28} \]

В завершении, такими превращениями мы можем понять, что будут выходами на итоговых шансах.

Ответы:

1. a) 12.
2. б) \(\frac{3}{28}\)
3. в) \(\frac{0}{28} = 0\)
4. г) Может выйти в рамках 0 и позиций визуально.