Сплав олова с железом, содержащий 6 кг железа, сплавили 13 кг железа. В результате содержание олова в сплаве понизилось на 26%. Какова была первоначальная масса сплава?
Для решения задачи начнем с анализа данных.
Данные задачи:
- Исходное количество железа в сплаве: 6 кг
- Было добавлено 13 кг железа.
- Содержание олова в сплаве понизилось на 26%.
Определим, что произошло: Обозначим начальную массу сплава через \( x \) кг. Это значит, что в этой массе было: \[ x - 6 \quad \text{(масса олова, так как 6 кг - это масса железа)} \]
Новая масса сплава: После добавления 13 кг железа, новая масса сплава будет равна \[ x + 13 \quad \text{(так как мы добавили 13 кг железа)} \]
Теперь найдем первоначальную долю олова в сплаве: Начальная доля олова в сплаве можно записать как: \[ \frac{x - 6}{x} \]
Теперь найдем новую долю олова: После добавления железа, новая масса олова останется прежней и равна \( x - 6 \). Новая доля олова будет: \[ \frac{x - 6}{x + 13} \]
Условие задачи: У нас есть условие, что содержание олова снизилось на 26%. Это значит, что новая доля олова равна 74% от первоначальной доли: \[ \frac{x - 6}{x + 13} = 0.74 \cdot \frac{x - 6}{x} \]
Давайте упростим уравнение: Умножим обе части уравнения на \( x(x + 13) \) (чтобы избавиться от дробей): \[ (x - 6)x = 0.74(x - 6)(x + 13) \]
Раскроем скобки: Сначала левая сторона: \[ x^2 - 6x \] Теперь правая сторона: \[ 0.74(x - 6)(x + 13) = 0.74(x^2 + 13x - 6x - 78) = 0.74(x^2 + 7x - 78) \] Это равно: \[ 0.74x^2 + 5.18x - 57.72 \]
Преобразуем уравнение: Приведем все к одному уравнению: \[ x^2 - 6x - 0.74x^2 - 5.18x + 57.72 = 0 \] Сократим: \[ (1 - 0.74)x^2 + (-6 - 5.18)x + 57.72 = 0 \Rightarrow 0.26x^2 - 11.18x + 57.72 = 0 \]
Умножим на 100 для удобства: \[ 26x^2 - 1118x + 5772 = 0 \]
Теперь найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-1118)^2 - 4 \cdot 26 \cdot 5772 \] Считаем: \[ D = 1250324 - 600384 = 650940 \]
Находим корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1118 \pm \sqrt{650940}}{52} \] Теперь подставляем: \[ \sqrt{650940} \approx 806.84 \]
Подставив это в формулу: \[ x_1 = \frac{1118 + 806.84}{52} \approx 36.57 \] \[ x_2 = \frac{1118 - 806.84}{52} \approx 5.962 \]
- Выберем подходящий корень: Так как масса сплава не может быть меньше 6 кг, выбираем: \[ x \approx 36.57 \, \text{кг} \]
Таким образом, первоначальная масса сплава составляет примерно 36.57 кг.
