Решить
Давайте решим задачу по тригонометрии, где необходимо вычислить значение выражения \( \cos\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) \), если \(\cos \alpha = -\frac{2}{5}\) и \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\).
Определение четверти:
Из условия \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\) следует, что \(\alpha\) находится в третьей четверти, где косинус отрицателен, что согласуется с \(\cos \alpha = -\frac{2}{5}\).
Поиск синуса угла \(\alpha\):
Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Подставим известное значение косинуса: \[ \sin^2 \alpha + \left(-\frac{2}{5}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 \alpha + \frac{4}{25} = 1 \] \[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25} \] Поскольку \(\alpha\) в третьей четверти, синус отрицателен: \[ \sin \alpha = -\sqrt{\frac{21}{25}} = -\frac{\sqrt{21}}{5} \]
Вычисление \(\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right)\):
Используем формулу косинуса разности: \[ \cos\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) = \cos \alpha \cdot \cos\frac{\pi}{6} + \sin \alpha \cdot \sin\frac{\pi}{6} \] Подставим значения: \[ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \] \[ \cos\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) = \left(-\frac{2}{5}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \left(-\frac{\sqrt{21}}{5}\right) \cdot \frac{1}{2} \] \[ = -\frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{\sqrt{21}}{10} \] Приведем к общему знаменателю: \[ = -\frac{2\sqrt{3}}{10} - \frac{\sqrt{21}}{10} \] \[ = -\frac{2\sqrt{3} + \sqrt{21}}{10} \]
Таким образом, значение \(\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right)\) равно \(-\frac{2\sqrt{3} + \sqrt{21}}{10}\).
