Найти корни уравнения sin2x=√3 cos2x принадлежащие отрезку [-1;6]

Чтобы решить уравнение \( \sin(2x) = \sqrt{3} \cos(2x) \) и найти корни, принадлежащие отрезку \([-1; 6]\), давайте следовать следующим шагам: ### Шаг 1: Преобразовать уравнение Сначала можно преобразовать уравнение в более удобную форму. Мы знаем, что \( \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} \). Поэтому можно переписать наше уравнение следующим образом: \[ \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = \sqrt{3} \] Это означает, что: \[ \tan(2x) = \sqrt{3} \] ### Шаг 2: Найти общее решение Теперь мы знаем, что \( \tan(2x) = \sqrt{3} \) дает известные значения. Мы знаем, что: \[ \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} \] Поэтому общее решение уравнения будет: \[ 2x = \frac{\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] ### Шаг 3: Разделить на 2 Чтобы найти \(x\), делим на 2: \[ x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2} \] ### Шаг 4: Подставить значения \( k \) Теперь мы подставим целые значения \(k\) для нахождения корней \(x\) и проверим, принадлежат ли они отрезку \([-1; 6]\). 1. **Для \( k = -4 \)**: \[ x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = \frac{\pi - 12\pi}{6} = \frac{-11\pi}{6} \approx -5.76 \quad (\text{не подходит}) \] 2. **Для \( k = -3 \)**: \[ x = \frac{\pi}{6} - \frac{3\pi}{2} = \frac{\pi - 9\pi}{6} = \frac{-8\pi}{6} = \frac{-4\pi}{3} \approx -4.19 \quad (\text{не подходит}) \] 3. **Для \( k = -2 \)**: \[ x = \frac{\pi}{6} - \pi = \frac{\pi - 6\pi}{6} = \frac{-5\pi}{6} \approx -2.62 \quad (\text{не подходит}) \] 4. **Для \( k = -1 \)**: \[ x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi - 3\pi}{6} = \frac{-2\pi}{6} = \frac{-\pi}{3} \approx -1.05 \quad (\text{не подходит}) \] 5. **Для \( k = 0 \)**: \[ x = \frac{\pi}{6} \approx 0.52 \quad (\text{подходит}) \] 6. **Для \( k = 1 \)**: \[ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi + 3\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} \approx 2.09 \quad (\text{подходит}) \] 7. **Для \( k = 2 \)**: \[ x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{\pi + 6\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \approx 3.67 \quad (\text{подходит}) \] 8. **Для \( k = 3 \)**: \[ x = \frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{2} = \frac{\pi + 9\pi}{6} = \frac{10\pi}{6} = \frac{5\pi}{3} \approx 5.24 \quad (\text{подходит}) \] 9. **Для \( k = 4 \)**: \[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{\pi + 12\pi}{6} = \frac{13\pi}{6} \approx 6.81 \quad (\text{не подходит}) \] ### Результат Теперь соберем все подходящие значения: \[ x \approx 0.52, \, 2.09, \, 3.67, \, 5.24 \] Итак, корни уравнения \( \sin(2x) = \sqrt{3} \cos(2x) \), принадлежащие отрезку \([-1; 6]\), это: \[ x \approx 0.52, \, 2.09, \, 3.67, \, 5.24 \]