найти корни уравнения sin2x=√3 cos2x принадлежащие отрезку [-1;6]

Чтобы решить уравнение \( \sin(2x) = \sqrt{3} \cos(2x) \) и найти корни, принадлежащие отрезку \([-1; 6]\), давайте следовать следующим шагам:

Шаг 1: Преобразовать уравнение

Сначала можно преобразовать уравнение в более удобную форму. Мы знаем, что \( \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} \). Поэтому можно переписать наше уравнение следующим образом:

\[ \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = \sqrt{3} \]

Это означает, что:

\[ \tan(2x) = \sqrt{3} \]

Шаг 2: Найти общее решение

Теперь мы знаем, что \( \tan(2x) = \sqrt{3} \) дает известные значения. Мы знаем, что:

\[ \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} \]

Поэтому общее решение уравнения будет:

\[ 2x = \frac{\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Шаг 3: Разделить на 2

Чтобы найти \(x\), делим на 2:

\[ x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2} \]

Шаг 4: Подставить значения \( k \)

Теперь мы подставим целые значения \(k\) для нахождения корней \(x\) и проверим, принадлежат ли они отрезку \([-1; 6]\).

1. Для \( k = -4 \): \[ x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = \frac{\pi - 12\pi}{6} = \frac{-11\pi}{6} \approx -5.76 \quad (\text{не подходит}) \]

2. Для \( k = -3 \): \[ x = \frac{\pi}{6} - \frac{3\pi}{2} = \frac{\pi - 9\pi}{6} = \frac{-8\pi}{6} = \frac{-4\pi}{3} \approx -4.19 \quad (\text{не подходит}) \]

3. Для \( k = -2 \): \[ x = \frac{\pi}{6} - \pi = \frac{\pi - 6\pi}{6} = \frac{-5\pi}{6} \approx -2.62 \quad (\text{не подходит}) \]

4. Для \( k = -1 \): \[ x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi - 3\pi}{6} = \frac{-2\pi}{6} = \frac{-\pi}{3} \approx -1.05 \quad (\text{не подходит}) \]

5. Для \( k = 0 \): \[ x = \frac{\pi}{6} \approx 0.52 \quad (\text{подходит}) \]

6. Для \( k = 1 \): \[ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi + 3\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} \approx 2.09 \quad (\text{подходит}) \]

7. Для \( k = 2 \): \[ x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{\pi + 6\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \approx 3.67 \quad (\text{подходит}) \]

8. Для \( k = 3 \): \[ x = \frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{2} = \frac{\pi + 9\pi}{6} = \frac{10\pi}{6} = \frac{5\pi}{3} \approx 5.24 \quad (\text{подходит}) \]

9. Для \( k = 4 \): \[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{\pi + 12\pi}{6} = \frac{13\pi}{6} \approx 6.81 \quad (\text{не подходит}) \]

Результат

Теперь соберем все подходящие значения:

\[ x \approx 0.52, \, 2.09, \, 3.67, \, 5.24 \]

Итак, корни уравнения \( \sin(2x) = \sqrt{3} \cos(2x) \), принадлежащие отрезку \([-1; 6]\), это:

\[ x \approx 0.52, \, 2.09, \, 3.67, \, 5.24 \]