Решить неравенство методом интервалов 5х - 15 1. (x -8)* (3x +1) ≥ 0 16- x2 < 0 5-2x 3. x2 +7x +12 ≤ 0 4x +8 + x -1 >-2

Давайте решим каждое из данных неравенств методом интервалов. ### Неравенство 1: \[ (x - 8)(3x + 1) \geq 0 \] 1. Найдем нули: - \( x - 8 = 0 \) ⇒ \( x = 8 \) - \( 3x + 1 = 0 \) ⇒ \( x = -\frac{1}{3} \) 2. Разобьем числовую ось на интервалы: - \( (-\infty, -\frac{1}{3}) \) - \( [-\frac{1}{3}, 8] \) - \( (8, +\infty) \) 3. Проверим знаки на каждом интервале: - Для \( x < -\frac{1}{3} \) (например, \( x = -1 \)): \( (-)(-) = + \) - Для \( x \in (-\frac{1}{3}, 8) \) (например, \( x = 0 \)): \( (-)(+) = - \) - Для \( x > 8 \) (например, \( x = 9 \)): \( (+)(+) = + \) 4. Объединяем результаты: - Неравенство выполняется на интервалах \( (-\infty, -\frac{1}{3}] \) и \( [8, +\infty) \). ### Неравенство 2: \[ 16 - x^2 < 0 \] 1. Преобразуем неравенство: \[ x^2 > 16 \] 2. Найдем нули: - \( x^2 - 16 = 0 \) ⇒ \( x = -4, 4 \) 3. Разобьем числовую ось на интервалы: - \( (-\infty, -4) \) - \( (-4, 4) \) - \( (4, +\infty) \) 4. Проверим знаки на каждом интервале: - Для \( x < -4 \) (например, \( x = -5 \)): \( (+) > 0 \) - Для \( x \in (-4, 4) \) (например, \( x = 0 \)): \( (-) < 0 \) - Для \( x > 4 \) (например, \( x = 5 \)): \( (+) > 0 \) 5. Неравенство выполняется на интервалах \( (-\infty, -4) \) и \( (4, +\infty) \). ### Неравенство 3: \[ \frac{x^2 + 7x + 12}{4x + 8} \leq 0 \] 1. Найдем нули числителя и знаменателя: - \( x^2 + 7x + 12 = 0 \): - \( (x + 3)(x + 4) = 0 \) ⇒ \( x = -3, -4 \) - \( 4x + 8 = 0 \) ⇒ \( x = -2 \) 2. Разобьем числовую ось на интервалы: - \( (-\infty, -4) \) - \( (-4, -3) \) - \( (-3, -2) \) - \( (-2, +\infty) \) 3. Проверим знаки на каждом интервале: - Для \( x < -4 \) (например, \( x = -5 \)): \( (+)/(+) \) = + - Для \( x \in (-4, -3) \) (например, \( x = -3.5 \)): \( (-)/(+) \) = - - Для \( x \in (-3, -2) \) (например, \( x = -2.5 \)): \( (0)/(+) \) = 0 - Для \( x > -2 \) (например, \( x = 0 \)): \( (+)/(+) \) = + 4. Неравенство выполняется на интервалах \( [-4, -3] \). ### Неравенство 4: \[ \frac{4x + 8}{x - 1} > -2 \] 1. Преобразуем неравенство: \[ \frac{4x + 8}{x - 1} + 2 > 0 \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{4x + 8 + 2(x - 1)}{x - 1} > 0 \] \[ \frac{6x + 6}{x - 1} > 0 \] \[ \frac{6(x + 1)}{x - 1} > 0 \] 2. Найдем нули числителя и знаменателя: - \( 6(x + 1) = 0 \) ⇒ \( x = -1 \) - \( x - 1 = 0 \) ⇒ \( x = 1 \) 3. Разобьем числовую ось на интервалы: - \( (-\infty, -1) \) - \( (-1, 1) \) - \( (1, +\infty) \) 4. Проверим знаки на каждом интервале: - Для \( x < -1 \) (например, \( x = -2 \)): \( (+)/(+) \) = + - Для \( x \in (-1, 1) \) (например, \( x = 0 \)): \( (+)/(−) \) = - - Для \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \( (+)/(+) \) = + 5. Неравенство выполняется на интервалах \( (-\infty, -1) \) и \( (1, +\infty) \). ### Итоговые решения: 1. \( (-\infty, -\frac{1}{3}] \cup [8, +\infty) \) 2. \( (-\infty, -4) \cup (4, +\infty) \) 3. \( [-4, -3] \) 4. \( (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) \)