Решить неравенство методом интервалов 5х - 15 1. (x -8)* (3x +1) ≥ 0 16- x2 < 0 5-2x 3. x2 +7x +12 ≤ 0 4x +8 + x -1 >-2

Давайте решим каждое из данных неравенств методом интервалов.

Неравенство 1:

\[ (x - 8)(3x + 1) \geq 0 \]

1. Найдем нули:

   • \( x - 8 = 0 \) ⇒ \( x = 8 \)
   • \( 3x + 1 = 0 \) ⇒ \( x = -\frac{1}{3} \)

2. Разобьем числовую ось на интервалы:

   • \( (-\infty, -\frac{1}{3}) \)
   • \( [-\frac{1}{3}, 8] \)
   • \( (8, +\infty) \)

3. Проверим знаки на каждом интервале:

   • Для \( x < -\frac{1}{3} \) (например, \( x = -1 \)): \( (-)(-) = + \)
   • Для \( x \in (-\frac{1}{3}, 8) \) (например, \( x = 0 \)): \( (-)(+) = - \)
   • Для \( x > 8 \) (например, \( x = 9 \)): \( (+)(+) = + \)

4. Объединяем результаты:

   • Неравенство выполняется на интервалах \( (-\infty, -\frac{1}{3}] \) и \( [8, +\infty) \).

Неравенство 2:

\[ 16 - x^2 < 0 \]

1. Преобразуем неравенство: \[ x^2 > 16 \]

2. Найдем нули:

   • \( x^2 - 16 = 0 \) ⇒ \( x = -4, 4 \)

3. Разобьем числовую ось на интервалы:

   • \( (-\infty, -4) \)
   • \( (-4, 4) \)
   • \( (4, +\infty) \)

4. Проверим знаки на каждом интервале:

   • Для \( x < -4 \) (например, \( x = -5 \)): \( (+) > 0 \)
   • Для \( x \in (-4, 4) \) (например, \( x = 0 \)): \( (-) < 0 \)
   • Для \( x > 4 \) (например, \( x = 5 \)): \( (+) > 0 \)

5. Неравенство выполняется на интервалах \( (-\infty, -4) \) и \( (4, +\infty) \).

Неравенство 3:

\[ \frac{x^2 + 7x + 12}{4x + 8} \leq 0 \]

1. Найдем нули числителя и знаменателя:

   • \( x^2 + 7x + 12 = 0 \):
     • \( (x + 3)(x + 4) = 0 \) ⇒ \( x = -3, -4 \)
   • \( 4x + 8 = 0 \) ⇒ \( x = -2 \)

2. Разобьем числовую ось на интервалы:

   • \( (-\infty, -4) \)
   • \( (-4, -3) \)
   • \( (-3, -2) \)
   • \( (-2, +\infty) \)

3. Проверим знаки на каждом интервале:

   • Для \( x < -4 \) (например, \( x = -5 \)): \( (+)/(+) \) = +
   • Для \( x \in (-4, -3) \) (например, \( x = -3.5 \)): \( (-)/(+) \) = -
   • Для \( x \in (-3, -2) \) (например, \( x = -2.5 \)): \( (0)/(+) \) = 0
   • Для \( x > -2 \) (например, \( x = 0 \)): \( (+)/(+) \) = +

4. Неравенство выполняется на интервалах \( [-4, -3] \).

Неравенство 4:

\[ \frac{4x + 8}{x - 1} > -2 \]

1. Преобразуем неравенство: \[ \frac{4x + 8}{x - 1} + 2 > 0 \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{4x + 8 + 2(x - 1)}{x - 1} > 0 \] \[ \frac{6x + 6}{x - 1} > 0 \] \[ \frac{6(x + 1)}{x - 1} > 0 \]

2. Найдем нули числителя и знаменателя:

   • \( 6(x + 1) = 0 \) ⇒ \( x = -1 \)
   • \( x - 1 = 0 \) ⇒ \( x = 1 \)

3. Разобьем числовую ось на интервалы:

   • \( (-\infty, -1) \)
   • \( (-1, 1) \)
   • \( (1, +\infty) \)

4. Проверим знаки на каждом интервале:

   • Для \( x < -1 \) (например, \( x = -2 \)): \( (+)/(+) \) = +
   • Для \( x \in (-1, 1) \) (например, \( x = 0 \)): \( (+)/(−) \) = -
   • Для \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \( (+)/(+) \) = +

5. Неравенство выполняется на интервалах \( (-\infty, -1) \) и \( (1, +\infty) \).

Итоговые решения:

1. \( (-\infty, -\frac{1}{3}] \cup [8, +\infty) \)
2. \( (-\infty, -4) \cup (4, +\infty) \)
3. \( [-4, -3] \)
4. \( (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) \)