реши

Для решения задачи необходимо найти дисперсию \(\text{D}(X)\) и стандартное отклонение \(\sigma(X)\) случайной величины \(X\). Даны значения случайной величины \(X\) и соответствующие вероятности.

Шаг 1: Проверка суммы вероятностей

Сначала убедимся, что сумма всех вероятностей равна 1:

\[ 0.03 + 0.4 + 0.01 + 0.25 + 0.17 + 0.09 + 0.05 = 1 \]

Сумма вероятностей равна 1, значит распределение корректно.

Шаг 2: Найдите математическое ожидание \(E(X)\)

Математическое ожидание вычисляется как:

\[ E(X) = \sum (x_i \cdot P(x_i)) \]

Подставим значения:

\[ E(X) = 1 \cdot 0.03 + 2 \cdot 0.4 + 3 \cdot 0.01 + 4 \cdot 0.25 + 5 \cdot 0.17 + 6 \cdot 0.09 + 7 \cdot 0.05 \]

\[ E(X) = 0.03 + 0.8 + 0.03 + 1 + 0.85 + 0.54 + 0.35 = 3.6 \]

Шаг 3: Найдите дисперсию \(\text{D}(X)\)

Дисперсия рассчитывается по формуле:

\[ \text{D}(X) = \sum ((x_i - E(X))^2 \cdot P(x_i)) \]

Подставим значения:

\[ \text{D}(X) = (1 - 3.6)^2 \cdot 0.03 + (2 - 3.6)^2 \cdot 0.4 + (3 - 3.6)^2 \cdot 0.01 + (4 - 3.6)^2 \cdot 0.25 + (5 - 3.6)^2 \cdot 0.17 + (6 - 3.6)^2 \cdot 0.09 + (7 - 3.6)^2 \cdot 0.05 \]

Посчитаем каждое слагаемое отдельно:

\[ (1 - 3.6)^2 \cdot 0.03 = 6.76 \cdot 0.03 = 0.2028 \] \[ (2 - 3.6)^2 \cdot 0.4 = 2.56 \cdot 0.4 = 1.024 \] \[ (3 - 3.6)^2 \cdot 0.01 = 0.36 \cdot 0.01 = 0.0036 \] \[ (4 - 3.6)^2 \cdot 0.25 = 0.16 \cdot 0.25 = 0.04 \] \[ (5 - 3.6)^2 \cdot 0.17 = 1.96 \cdot 0.17 = 0.3332 \] \[ (6 - 3.6)^2 \cdot 0.09 = 5.76 \cdot 0.09 = 0.5184 \] \[ (7 - 3.6)^2 \cdot 0.05 = 11.56 \cdot 0.05 = 0.578 \]

Сложим все значения:

\[ \text{D}(X) = 0.2028 + 1.024 + 0.0036 + 0.04 + 0.3332 + 0.5184 + 0.578 = 2.7 \]

Шаг 4: Найдите стандартное отклонение \(\sigma(X)\)

Стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии:

\[ \sigma(X) = \sqrt{\text{D}(X)} = \sqrt{2.7} \approx 1.643 \]

Таким образом, дисперсия случайной величины \(X\) равна \(2.7\), а стандартное отклонение — приблизительно \(1.643\).