x²-4x-21=0

Давайте решим уравнение \(x^2 - 4x - 21 = 0\) пошагово.

Шаг 1: Определим тип уравнения

Это квадратное уравнение, поскольку оно имеет максимальную степень 2. Его можно выразить в стандартной форме \(ax^2 + bx + c = 0\), где:

• \(a = 1\)
• \(b = -4\)
• \(c = -21\)

Шаг 2: Найдем дискриминант

Дискриминант (обозначается как \(D\)) позволяет определить количество корней уравнения и рассчитывается по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \] Подставим наши значения: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) \] \[ D = 16 + 84 = 100 \]

Шаг 3: Анализ дискриминанта

Так как дискриминант \(D = 100\) больше нуля, это означает, что уравнение имеет два различных действительных корня.

Шаг 4: Найдем корни уравнения

Корни квадратного уравнения можно найти по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставим значения: \[ x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 1} \] \[ x_{1,2} = \frac{4 \pm 10}{2} \]

Теперь найдем два корня:

1. Для первого корня (\(x_1\)): \[ x_1 = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7 \]

2. Для второго корня (\(x_2\)): \[ x_2 = \frac{4 - 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Шаг 5: Итоговые значения корней

Таким образом, корни уравнения \(x^2 - 4x - 21 = 0\) следующие: \[ x_1 = 7 \quad \text{и} \quad x_2 = -3 \]

Проверка

Для проверки подставим корни обратно в исходное уравнение:

1. Для \(x_1 = 7\): \[ 7^2 - 4 \cdot 7 - 21 = 49 - 28 - 21 = 0 \]

2. Для \(x_2 = -3\): \[ (-3)^2 - 4 \cdot (-3) - 21 = 9 + 12 - 21 = 0 \]

Обе проверки верны, что подтверждает, что корни найдены правильно.

Ответ

Корни уравнения \(x^2 - 4x - 21 = 0\) равны: \[ x_1 = 7 \quad \text{и} \quad x_2 = -3 \]