Вероятность успеха равна 0,1, количество испытаний равно 8. Определи вероятность 3 успехов в данной серии бинарных испытаний. (Ответ округли до тысячных.)
Чтобы определить вероятность того, что в серии из 8 бинарных испытаний (где вероятность успеха равна 0,1) будет ровно 3 успеха, мы можем использовать формулу биномиального распределения. Формула выглядит следующим образом:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]
где:
- \( P(X = k) \) — вероятность получить ровно \( k \) успехов,
- \( n \) — общее количество испытаний,
- \( k \) — количество успехов,
- \( p \) — вероятность успеха в каждом отдельном испытании,
- \( C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \) — число сочетаний (комбинаций) n по k (выбираем k успехов из n испытаний).
Данные задачи
- \( n = 8 \) (количество испытаний),
- \( k = 3 \) (количество успехов),
- \( p = 0,1 \) (вероятность успеха).
Шаг 1: Найдем число сочетаний \( C(n, k) \)
Используем формулу для сочетаний:
\[ C(8, 3) = \frac{8!}{3! \cdot (8 - 3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} \]
Вычислим факториалы:
- \( 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5! \)
- \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)
- \( 5! \) сокращается.
Таким образом:
\[ C(8, 3) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \frac{336}{6} = 56 \]
Шаг 2: Рассчитаем \( P(X = 3) \)
Теперь подставим значения в формулу биномиального распределения:
\[ P(X = 3) = C(8, 3) \cdot (0,1)^3 \cdot (0,9)^{8 - 3} \]
Теперь подставим значения и рассчитаем:
\[ P(X = 3) = 56 \cdot (0,1)^3 \cdot (0,9)^5 \]
Шаг 3: Посчитаем значения
Сначала посчитаем каждую часть:
- \( (0,1)^3 = 0,001 \)
- \( (0,9)^5 = 0,59049 \)
Теперь подставим в формулу:
\[ P(X = 3) = 56 \cdot 0,001 \cdot 0,59049 \]
Сначала перемножим числа:
\[ 56 \cdot 0,001 = 0,056 \]
Теперь:
\[ 0,056 \cdot 0,59049 \approx 0,03304 \]
Шаг 4: Округление
Теперь округляем до тысячных:
\[ P(X = 3) \approx 0,033 \]
Ответ
Вероятность того, что в серии из 8 испытаний будет ровно 3 успеха, составляет приблизительно 0,033.
