Чтобы определить вероятность того, что в серии из 8 бинарных испытаний (где вероятность успеха равна 0,1) будет ровно 3 успеха, мы можем использовать формулу биномиального распределения. Формула выглядит следующим образом:
[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} ]
где:
- ( P(X = k) ) — вероятность получить ровно ( k ) успехов,
- ( n ) — общее количество испытаний,
- ( k ) — количество успехов,
- ( p ) — вероятность успеха в каждом отдельном испытании,
- ( C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} ) — число сочетаний (комбинаций) n по k (выбираем k успехов из n испытаний).
Данные задачи
- ( n = 8 ) (количество испытаний),
- ( k = 3 ) (количество успехов),
- ( p = 0,1 ) (вероятность успеха).
Шаг 1: Найдем число сочетаний ( C(n, k) )
Используем формулу для сочетаний:
[
C(8, 3) = \frac{8!}{3! \cdot (8 - 3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!}
]
Вычислим факториалы:
- ( 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5! )
- ( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 )
- ( 5! ) сокращается.
Таким образом:
[
C(8, 3) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \frac{336}{6} = 56
]
Шаг 2: Рассчитаем ( P(X = 3) )
Теперь подставим значения в формулу биномиального распределения:
[
P(X = 3) = C(8, 3) \cdot (0,1)^3 \cdot (0,9)^{8 - 3}
]
Теперь подставим значения и рассчитаем:
[
P(X = 3) = 56 \cdot (0,1)^3 \cdot (0,9)^5
]
Шаг 3: Посчитаем значения
Сначала посчитаем каждую часть:
- ( (0,1)^3 = 0,001 )
- ( (0,9)^5 = 0,59049 )
Теперь подставим в формулу:
[
P(X = 3) = 56 \cdot 0,001 \cdot 0,59049
]
Сначала перемножим числа:
[
56 \cdot 0,001 = 0,056
]
Теперь:
[
0,056 \cdot 0,59049 \approx 0,03304
]
Шаг 4: Округление
Теперь округляем до тысячных:
[
P(X = 3) \approx 0,033
]
Ответ
Вероятность того, что в серии из 8 испытаний будет ровно 3 успеха, составляет приблизительно 0,033.
