на рисунке 111 прямые а и b пересечены прямой с. Докажите,что а паралельно b,если: а)угол 1=37°, угол 7=143°; б) угол 1=углу6; в) угол 1=45°, а угол 7 в 3 раза больше угла 3.
Для доказательства того, что прямые a и b параллельны, мы можем использовать свойства углов, которые образуются при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой. Рассмотрим каждую из предложенных ситуаций по отдельности.
а) Угол 1 = 37°, угол 7 = 143°.
В этом случае, прежде всего, нужно определить, как эти углы соотносятся друг с другом. Широко используется свойство, что если внутренние односторонние углы (в данном случае угол 1 и угол 7) равны, то прямые параллельны. Сумма углов 1 и 7 составляет:
\[ 37° + 143° = 180° \]
Это означает, что угол 1 и угол 7 являются сопряжёнными (или внутренними односторонними) углами, и поскольку они в сумме равны 180°, прямые a и b являются параллельными по теореме о внутренних односторонних углах.
Вывод: Прямые a и b параллельны, так как угол 1 и угол 7 являются полусуммой.
б) Угол 1 = углу 6.
Если угол 1 равен углу 6, это также является признаком параллельности прямых. Угол 1 и угол 6 — это альтернативные углы, образующиеся при пересечении параллельных прямых третьей прямой. Если два альтернативных угла равны, то по теореме об альтернативных углах можно утверждать, что прямые a и b параллельны.
Вывод: Прямые a и b параллельны, так как угол 1 равен углу 6 (по теореме об альтернативных углах).
в) Угол 1 = 45°, угол 7 в 3 раза больше угла 3.
Угол 7 в 3 раза больше угла 3, значит, если обозначить угол 3 за \( x \), то:
\[ \text{угол 7} = 3x \]
Учитывая, что угол 1 — 45°, мы можем записать уравнение, исходя из того, что сумма углов 1 и 7 должна составлять 180° (так как это внутренние односторонние углы):
\[ 45° + 3x = 180 \]
Теперь решим это уравнение:
\[ 3x = 180° - 45° \] \[ 3x = 135° \] \[ x = 45° \]
Это означает, что угол 3 равен 45°, и тогда угол 7 будет:
\[ \text{угол 7} = 3 \cdot 45° = 135° \]
Теперь проверим, что угол 1 и угол 7 в сумме равны:
\[ 45° + 135° = 180° \]
Это также доказывает, что угол 1 и угол 7 являются внутренними односторонними углами и сумма их равна 180°, следовательно, прямые a и b параллельны.
Вывод: Прямые a и b параллельны, так как сумма углов 1 и 7 равна 180° (по теореме о внутренних односторонних углах).
Заключение
Во всех трех частях задач прямые a и b являются параллельными. Мы использовали свойства внутреннего одностороннего угла и альтернативные углы для обоснования параллельности.
