требуется огородить прямоугольный участок площадь которого 294 км2 и разделить его забором на 2 равные части, при каких линейных размерах, длина всего забора будет минимальна
Чтобы решить задачу, нужно найти размеры прямоугольного участка, который будет огорожен забором и разделён на две равные части. Следует установить минимальную длину забора, учитывая, что площадь участка равна 294 км².
Определим переменные.
Обозначим длину прямоугольника как \( x \) (в км) и ширину как \( y \) (в км).Запишем условия задачи.
Площадь прямоугольника равна: \[ P = x \cdot y = 294 \] Так как участок нужно разделить на две равные части, забор разделения будет проходить параллельно одной из сторон. Предположим, что забор будет проходить по длине \( x \). Таким образом, общая длина забора будет: \[ L = 2x + 2y + x = 3x + 2y \] (где \( 2y \) - длина двух вертикальных сторон, плюс \( x \) - длина забора посередине).Подставим \( y \) через \( x \).
Из уравнения площади, выразим \( y \): \[ y = \frac{294}{x} \] Теперь подставим \( y \) в уравнение для длины забора \( L \): \[ L = 3x + 2\left(\frac{294}{x}\right) = 3x + \frac{588}{x} \]Найдём производную.
Для минимизации длины забор мы можем использовать метод нахождения производной: \[ L' = 3 - \frac{588}{x^2} \] Для нахождения критической точки приравняем производную к нулю: \[ 3 - \frac{588}{x^2} = 0 \\ \frac{588}{x^2} = 3 \\ x^2 = \frac{588}{3} = 196 \\ x = 14 \text{ км} \]Найдем \( y \):
Подставим значение \( x \) обратно в формулу для \( y \): \[ y = \frac{294}{x} = \frac{294}{14} = 21 \text{ км} \]Проверим вторую производную для минимизации.
Вычисляем вторую производную: \[ L'' = \frac{1176}{x^3} \] Поскольку \( x > 0 \), \( L'' > 0 \), следовательно, критическая точка действительно является минимумом.Резюме.
Таким образом, размеры прямоугольного участка, при которых длина всего забора будет минимальна, составляют:- Длина \( x = 14 \) км
- Ширина \( y = 21 \) км
Длина забора при этих размерах равна: \[ L = 3x + 2y = 3(14) + 2(21) = 42 + 42 = 84 \text{ км}. \]
Итак, минимальная длина забора будет 84 км при размерах участка 14 км на 21 км.
