Требуется огородить прямоугольный участок площадь которого 294 км2 и разделить его забором на 2 равные части, при каких линейных размерах, длина всего забора будет минимальна

Чтобы решить задачу, нужно найти размеры прямоугольного участка, который будет огорожен забором и разделён на две равные части. Следует установить минимальную длину забора, учитывая, что площадь участка равна 294 км². 1. **Определим переменные.** Обозначим длину прямоугольника как \( x \) (в км) и ширину как \( y \) (в км). 2. **Запишем условия задачи.** Площадь прямоугольника равна: \[ P = x \cdot y = 294 \] Так как участок нужно разделить на две равные части, забор разделения будет проходить параллельно одной из сторон. Предположим, что забор будет проходить по длине \( x \). Таким образом, общая длина забора будет: \[ L = 2x + 2y + x = 3x + 2y \] (где \( 2y \) - длина двух вертикальных сторон, плюс \( x \) - длина забора посередине). 3. **Подставим \( y \) через \( x \).** Из уравнения площади, выразим \( y \): \[ y = \frac{294}{x} \] Теперь подставим \( y \) в уравнение для длины забора \( L \): \[ L = 3x + 2\left(\frac{294}{x}\right) = 3x + \frac{588}{x} \] 4. **Найдём производную.** Для минимизации длины забор мы можем использовать метод нахождения производной: \[ L' = 3 - \frac{588}{x^2} \] Для нахождения критической точки приравняем производную к нулю: \[ 3 - \frac{588}{x^2} = 0 \\ \frac{588}{x^2} = 3 \\ x^2 = \frac{588}{3} = 196 \\ x = 14 \text{ км} \] 5. **Найдем \( y \):** Подставим значение \( x \) обратно в формулу для \( y \): \[ y = \frac{294}{x} = \frac{294}{14} = 21 \text{ км} \] 6. **Проверим вторую производную для минимизации.** Вычисляем вторую производную: \[ L'' = \frac{1176}{x^3} \] Поскольку \( x > 0 \), \( L'' > 0 \), следовательно, критическая точка действительно является минимумом. 7. **Резюме.** Таким образом, размеры прямоугольного участка, при которых длина всего забора будет минимальна, составляют: - Длина \( x = 14 \) км - Ширина \( y = 21 \) км Длина забора при этих размерах равна: \[ L = 3x + 2y = 3(14) + 2(21) = 42 + 42 = 84 \text{ км}. \] Итак, минимальная длина забора будет 84 км при размерах участка 14 км на 21 км.