Решите систему уравнений с помощью метода сложения.
Чтобы решить систему уравнений методом сложения (он же метод исключения), надо сложить или вычесть уравнения так, чтобы один из переменных сократилась. Рассмотрим каждую систему по очереди:
Задача 1:
Система уравнений:
- \( 4x - y = 29 \)
- \( 5x + y = 2 \)
Шаги решения:
Сложим уравнения.
\[ (4x - y) + (5x + y) = 29 + 2 \] \[ 9x = 31 \]Решим полученное уравнение:
\[ x = \frac{31}{9} \]Подставим значение \( x \) в одно из исходных уравнений, например, в первое:
\[ 4\left(\frac{31}{9}\right) - y = 29 \] \[ \frac{124}{9} - y = 29 \]
Переведем 29 в дробь с тем же знаменателем:
\[ 29 = \frac{261}{9} \]
Решим уравнение для \( y \):
\[ \frac{124}{9} - y = \frac{261}{9} \] \[ -y = \frac{261}{9} - \frac{124}{9} \] \[ -y = \frac{137}{9} \] \[ y = -\frac{137}{9} \]
Ответ: \( x = \frac{31}{9}, y = -\frac{137}{9} \).
Задача 2:
Система уравнений:
- \( 9x + 17y = 52 \)
- \( 26x - 17y = 18 \)
Шаги решения:
Сложим уравнения.
\[ (9x + 17y) + (26x - 17y) = 52 + 18 \] \[ 35x = 70 \]Решим полученное уравнение:
\[ x = 2 \]Подставим значение \( x \) в одно из исходных уравнений, например, в первое:
\[ 9(2) + 17y = 52 \] \[ 18 + 17y = 52 \] \[ 17y = 34 \] \[ y = 2 \]
Ответ: \( x = 2, y = 2 \).
Задача 3:
Система уравнений:
- \( 4x + y = 12 \)
- \( 8x + y = 15 \)
Шаги решения:
Вычтем первое уравнение из второго. \[ (8x + y) - (4x + y) = 15 - 12 \] \[ 4x = 3 \]
Решим полученное уравнение: \[ x = \frac{3}{4} \]
Подставим значение \( x \) в одно из исходных уравнений, например, в первое:
\[ 4\left(\frac{3}{4}\right) + y = 12 \] \[ 3 + y = 12 \] \[ y = 9 \]
Ответ: \( x = \frac{3}{4}, y = 9 \).
Задача 4:
Система уравнений:
- \( 3x - 5y = 24 \)
- \( 9x - 5y = 10 \)
Шаги решения:
Вычтем первое уравнение из второго. \[ (9x - 5y) - (3x - 5y) = 10 - 24 \] \[ 6x = -14 \]
Решим полученное уравнение: \[ x = -\frac{14}{6} = -\frac{7}{3} \]
Подставим значение \( x \) в одно из исходных уравнений, например, в первое:
\[ 3\left(-\frac{7}{3}\right) - 5y = 24 \] \[ -7 - 5y = 24 \] \[ -5y = 31 \] \[ y = -\frac{31}{5} \]
Ответ: \( x = -\frac{7}{3}, y = -\frac{31}{5} \).
