Для уравнения ((p + 8)x^2 + (p + 5)x + p = 0) необходимо найти значения параметра (p), при которых уравнение имеет два корня. Это значит, что дискриминант (D) квадратного уравнения должен быть положительным ((D > 0)).
Формула для дискриминанта квадратного уравнения (ax^2 + bx + c = 0) имеет вид:
[ D = b^2 - 4ac ]
Для данного уравнения:
- (a = p + 8)
- (b = p + 5)
- (c = p)
Подставляем в формулу дискриминанта:
[ D = (p + 5)^2 - 4(p + 8)p ]
Распишем и упростим выражение:
((p + 5)^2 = p^2 + 10p + 25)
(4(p + 8)p = 4p^2 + 32p)
Теперь подставим и преобразуем:
[ D = (p^2 + 10p + 25) - (4p^2 + 32p) ]
[ D = p^2 + 10p + 25 - 4p^2 - 32p ]
[ D = -3p^2 - 22p + 25 ]
Чтобы уравнение имело два корня, необходимо:
[ -3p^2 - 22p + 25 > 0 ]
Найдем корни квадратного уравнения (-3p^2 - 22p + 25 = 0) с помощью формулы:
[ p = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]
Здесь:
- (a = -3)
- (b = -22)
- (c = 25)
Подставляем:
[ p = \frac{-(-22) \pm \sqrt{(-22)^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 25}}{2 \cdot (-3)} ]
[ p = \frac{22 \pm \sqrt{484 + 300}}{-6} ]
[ p = \frac{22 \pm \sqrt{784}}{-6} ]
[ p = \frac{22 \pm 28}{-6} ]
Получаем два корня:
(p_1 = \frac{22 + 28}{-6} = \frac{50}{-6} = -\frac{25}{3})
(p_2 = \frac{22 - 28}{-6} = \frac{-6}{-6} = 1)
Теперь определим, где выражение (-3p^2 - 22p + 25 > 0). Так как это квадратное неравенство, знак меняется между корнями:
- (p < -\frac{25}{3}) или (p > 1)
Таким образом, уравнение имеет два корня при (p < -\frac{25}{3}) или (p > 1).
