При каких значениях параметр p уравнение имеет два корня?

Для уравнения \((p + 8)x^2 + (p + 5)x + p = 0\) необходимо найти значения параметра \(p\), при которых уравнение имеет два корня. Это значит, что дискриминант \(D\) квадратного уравнения должен быть положительным (\(D > 0\)).

Формула для дискриминанта квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) имеет вид:

\[ D = b^2 - 4ac \]

Для данного уравнения:

• \(a = p + 8\)
• \(b = p + 5\)
• \(c = p\)

Подставляем в формулу дискриминанта:

\[ D = (p + 5)^2 - 4(p + 8)p \]

Распишем и упростим выражение:

1. \((p + 5)^2 = p^2 + 10p + 25\)

2. \(4(p + 8)p = 4p^2 + 32p\)

Теперь подставим и преобразуем:

\[ D = (p^2 + 10p + 25) - (4p^2 + 32p) \]

\[ D = p^2 + 10p + 25 - 4p^2 - 32p \]

\[ D = -3p^2 - 22p + 25 \]

Чтобы уравнение имело два корня, необходимо:

\[ -3p^2 - 22p + 25 > 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения \(-3p^2 - 22p + 25 = 0\) с помощью формулы:

\[ p = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Здесь:

• \(a = -3\)
• \(b = -22\)
• \(c = 25\)

Подставляем:

\[ p = \frac{-(-22) \pm \sqrt{(-22)^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 25}}{2 \cdot (-3)} \]

\[ p = \frac{22 \pm \sqrt{484 + 300}}{-6} \]

\[ p = \frac{22 \pm \sqrt{784}}{-6} \]

\[ p = \frac{22 \pm 28}{-6} \]

Получаем два корня:

1. \(p_1 = \frac{22 + 28}{-6} = \frac{50}{-6} = -\frac{25}{3}\)

2. \(p_2 = \frac{22 - 28}{-6} = \frac{-6}{-6} = 1\)

Теперь определим, где выражение \(-3p^2 - 22p + 25 > 0\). Так как это квадратное неравенство, знак меняется между корнями:

• \(p < -\frac{25}{3}\) или \(p > 1\)

Таким образом, уравнение имеет два корня при \(p < -\frac{25}{3}\) или \(p > 1\).