1. ABCD - параллелограмм ДМ=2, BE:EC=1:4 Найти: ВД (по второму признаку подобия треугольников)

Решим задачу по нахождению стороны \( BD \) в параллелограмме \( ABCD \) с учетом соотношения отрезков \( BE \) и \( EC \).

Шаг 1: Понять условия задачи

У нас есть параллелограмм \( ABCD \), в котором:

• Отрезок \( DM = 2 \) (где \( M \) — это середина отрезка \( AC \)).
• Отношение \( BE:EC = 1:4 \).

Шаг 2: Определим точки и постулируем

Пусть точка \( E \) делит отрезок \( BC \) в отношении \( 1:4 \). Так как \( BE + EC = BC \), можно обозначить:

• \( BE = x \)
• \( EC = 4x \)

Тогда: \[ BC = BE + EC = x + 4x = 5x. \]

Шаг 3: Вводим координаты

Для удобства вычислений и понимания, зададим координаты точек:

• \( A(0, 0) \)
• \( B(5x, 0) \)
• \( C(5x, h) \) (где \( h \) — высота параллелограмма)
• \( D(0, h) \)

Шаг 4: Находим координаты точки E

Так как \( E \) делит \( BC \) в отношении \( 1:4 \), используем формулу координат разбиения отрезка: \[ E = \left( \frac{1 \cdot x_2 + 4 \cdot x_1}{1 + 4}, \frac{1 \cdot y_2 + 4 \cdot y_1}{1 + 4} \right), \] где \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) — координаты точек \( B \) и \( C \).

Подставим координаты: \[ E = \left( \frac{1 \cdot 5x + 4 \cdot 5x}{5}, \frac{1 \cdot 0 + 4 \cdot h}{5} \right) = \left( \frac{5x + 20x}{5}, \frac{4h}{5} \right) = \left( 5x, \frac{4h}{5} \right). \]

Шаг 5: Найдем длину отрезка \( BD \)

Теперь нам нужно найти длину \( BD \) используя теорему о подобии треугольников. Рассмотрим треугольники \( BDE \) и \( CDE \).

Треугольники \( BDE \) и \( ADE \) подобны, так как у них имеется общий угол \( \angle DBE \), и \( \angle DAE \) равен \( \angle CDE \) (соответствующие углы). Поэтому мы можем записать:

\[ \frac{BD}{AD} = \frac{BE}{EC}. \]

Шаг 6: Определяем длину стороны \( AD \)

Так как \( ABCD \) — параллелограмм, то: \( AD = BC \).

Шаг 7: Подставим известные значения

Подставим данные в формулу: \[ AD = BC = 5x. \] Или \( AD = DM = 2 \). Таким образом, \( 5x = 2 \), отсюда \( x = \frac{2}{5} \).

Теперь подставим в формулу подобия: \[ \frac{BD}{2} = \frac{\frac{2}{5}}{4\frac{2}{5}} = \frac{1}{8}. \] Отсюда: \[ BD = 2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{4}. \]

Ответ

Длина отрезка \( BD = \frac{1}{4} \).

Таким образом, мы нашли, что \( BD \) равен \( \frac{1}{4} \).