1. ABCD - параллелограмм ДМ=2, BE:EC=1:4 Найти: ВД (по второму признаку подобия треугольников)

Решим задачу по нахождению стороны \( BD \) в параллелограмме \( ABCD \) с учетом соотношения отрезков \( BE \) и \( EC \). ### Шаг 1: Понять условия задачи У нас есть параллелограмм \( ABCD \), в котором: - Отрезок \( DM = 2 \) (где \( M \) — это середина отрезка \( AC \)). - Отношение \( BE:EC = 1:4 \). ### Шаг 2: Определим точки и постулируем Пусть точка \( E \) делит отрезок \( BC \) в отношении \( 1:4 \). Так как \( BE + EC = BC \), можно обозначить: - \( BE = x \) - \( EC = 4x \) Тогда: \[ BC = BE + EC = x + 4x = 5x. \] ### Шаг 3: Вводим координаты Для удобства вычислений и понимания, зададим координаты точек: - \( A(0, 0) \) - \( B(5x, 0) \) - \( C(5x, h) \) (где \( h \) — высота параллелограмма) - \( D(0, h) \) ### Шаг 4: Находим координаты точки E Так как \( E \) делит \( BC \) в отношении \( 1:4 \), используем формулу координат разбиения отрезка: \[ E = \left( \frac{1 \cdot x_2 + 4 \cdot x_1}{1 + 4}, \frac{1 \cdot y_2 + 4 \cdot y_1}{1 + 4} \right), \] где \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) — координаты точек \( B \) и \( C \). Подставим координаты: \[ E = \left( \frac{1 \cdot 5x + 4 \cdot 5x}{5}, \frac{1 \cdot 0 + 4 \cdot h}{5} \right) = \left( \frac{5x + 20x}{5}, \frac{4h}{5} \right) = \left( 5x, \frac{4h}{5} \right). \] ### Шаг 5: Найдем длину отрезка \( BD \) Теперь нам нужно найти длину \( BD \) используя теорему о подобии треугольников. Рассмотрим треугольники \( BDE \) и \( CDE \). Треугольники \( BDE \) и \( ADE \) подобны, так как у них имеется общий угол \( \angle DBE \), и \( \angle DAE \) равен \( \angle CDE \) (соответствующие углы). Поэтому мы можем записать: \[ \frac{BD}{AD} = \frac{BE}{EC}. \] ### Шаг 6: Определяем длину стороны \( AD \) Так как \( ABCD \) — параллелограмм, то: \( AD = BC \). ### Шаг 7: Подставим известные значения Подставим данные в формулу: \[ AD = BC = 5x. \] Или \( AD = DM = 2 \). Таким образом, \( 5x = 2 \), отсюда \( x = \frac{2}{5} \). Теперь подставим в формулу подобия: \[ \frac{BD}{2} = \frac{\frac{2}{5}}{4\frac{2}{5}} = \frac{1}{8}. \] Отсюда: \[ BD = 2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{4}. \] ### Ответ Длина отрезка \( BD = \frac{1}{4} \). Таким образом, мы нашли, что \( BD \) равен \( \frac{1}{4} \).