Чему равны стороны прямоугольника, если его периметр 74 дм, а площадь 3 м2?

Чтобы найти стороны прямоугольника с заданными периметром и площадью, давайте обозначим длину прямоугольника как \( a \), а ширину как \( b \).

Дано:

1. Периметр (P) прямоугольника равен 74 дм.
2. Площадь (S) прямоугольника равна 3 м².

Преобразования единиц измерения

Так как \( 1 \, м = 10 \, дм \), то \( 3 \, м² = 3 \cdot (10 \, дм) \cdot (10 \, дм) = 300 \, дм² \).

Теперь у нас есть:

• Периметр: \( P = 74 \, дм \)
• Площадь: \( S = 300 \, дм² \)

Системы уравнений

Из формул периметра и площади прямоугольника мы можем записать два уравнения:

1. Периметр: \[ P = 2(a + b) \] Подставим \( P = 74 \): \[ 74 = 2(a + b) \] Сократим на 2: \[ a + b = 37 \quad \text{(1)} \]

2. Площадь: \[ S = a \cdot b \] Подставим \( S = 300 \): \[ a \cdot b = 300 \quad \text{(2)} \]

Подстановка и решение

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:

\[ \begin{cases} a + b = 37 \\ ab = 300 \end{cases} \]

Из уравнения (1) выразим \( b \): \[ b = 37 - a \]

Теперь подставим это выражение для \( b \) в уравнение (2): \[ a(37 - a) = 300 \] Раскроем скобки: \[ 37a - a^2 = 300 \] Переносим всё в одну сторону: \[ -a^2 + 37a - 300 = 0 \] Умножим на -1, чтобы упростить уравнение: \[ a^2 - 37a + 300 = 0 \]

Находим корни квадратного уравнения

Используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac, \quad где \quad a=1, b=-37, c=300 \] \[ D = (-37)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 300 = 1369 - 1200 = 169 \]

Теперь находим корни: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ a = \frac{37 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{37 \pm 13}{2} \]

Это дает два значения для \( a \):

1. \( a = \frac{50}{2} = 25 \)
2. \( a = \frac{24}{2} = 12 \)

Теперь подставим \( a \) обратно в выражение для \( b \):

• Если \( a = 25 \), тогда \( b = 37 - 25 = 12 \)
• Если \( a = 12 \), тогда \( b = 37 - 12 = 25 \)

Ответ

Стороны прямоугольника равны 25 дм и 12 дм.

Это можно записать так:

• Длина: 25 дм
• Ширина: 12 дм

Таким образом, стороны прямоугольника составляют 25 дм и 12 дм.