стрелок 7 раз стреляет по мишени с вероятностью попадания 1/3 при каждом отдельном выстреле. каково вероятность события мишень будет поражена ровно 3 раза
Для решения задачи о вероятности стрельбы по мишени, давайте используем приближение биномиального распределения. В данном случае у нас есть 7 выстрелов по мишени, вероятность попадания (успеха) в каждом выстреле — 1/3, а вероятность промаха — 2/3. Нам нужно найти вероятность того, что стрелок попадет ровно 3 раза.
Мы будем использовать формулу биномиального распределения, которая записывается как:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]
где:
- \( P(X = k) \) — вероятность того, что событие произойдет ровно \( k \) раз (в нашем случае, попасть ровно 3 раза);
- \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который определяет количество способов выбрать \( k \) успехов из \( n \) экспериментов;
- \( p \) — вероятность успеха в одном эксперименте (в нашем случае \( p = \frac{1}{3} \));
- \( n \) — общее количество экспериментов (в нашем случае \( n = 7 \));
- \( k \) — количество успехов (в нашем случае \( k = 3 \));
- \( (1-p) \) — вероятность неуспеха (в нашем случае \( 1-p = \frac{2}{3} \)).
Теперь давайте подставим все известные значения в формулу.
- Вычислим биномиальный коэффициент \( C(7, 3) \):
\[ C(7, 3) = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 \]
- Подставим значения в формулу:
\[ P(X = 3) = C(7, 3) \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^3 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{7-3} \]
\[ P(X = 3) = 35 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^3 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^4 \]
Теперь вычислим каждую часть:
- \(\left( \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{1}{27}\)
- \(\left( \frac{2}{3} \right)^4 = \frac{16}{81}\)
Теперь окончательно подставим:
\[ P(X = 3) = 35 \cdot \frac{1}{27} \cdot \frac{16}{81} \] \[ P(X = 3) = 35 \cdot \frac{16}{2187} \] \[ P(X = 3) = \frac{560}{2187} \]
Таким образом, вероятность того, что стрелок попадет по мишени ровно 3 раза из 7 выстрелов, составляет \( \frac{560}{2187} \) или примерно 0.256 (25.6%).
Вот и все! Если у тебя остались вопросы по расчетам или заданию, не стесняйся спрашивать!
