Для решения задачи о вероятности стрельбы по мишени, давайте используем приближение биномиального распределения. В данном случае у нас есть 7 выстрелов по мишени, вероятность попадания (успеха) в каждом выстреле — 1/3, а вероятность промаха — 2/3. Нам нужно найти вероятность того, что стрелок попадет ровно 3 раза.
Мы будем использовать формулу биномиального распределения, которая записывается как:
[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} ]
где:
- ( P(X = k) ) — вероятность того, что событие произойдет ровно ( k ) раз (в нашем случае, попасть ровно 3 раза);
- ( C(n, k) ) — биномиальный коэффициент, который определяет количество способов выбрать ( k ) успехов из ( n ) экспериментов;
- ( p ) — вероятность успеха в одном эксперименте (в нашем случае ( p = \frac{1}{3} ));
- ( n ) — общее количество экспериментов (в нашем случае ( n = 7 ));
- ( k ) — количество успехов (в нашем случае ( k = 3 ));
- ( (1-p) ) — вероятность неуспеха (в нашем случае ( 1-p = \frac{2}{3} )).
Теперь давайте подставим все известные значения в формулу.
- Вычислим биномиальный коэффициент ( C(7, 3) ):
[
C(7, 3) = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35
]
- Подставим значения в формулу:
[
P(X = 3) = C(7, 3) \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^3 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{7-3}
]
[
P(X = 3) = 35 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^3 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^4
]
Теперь вычислим каждую часть:
- (\left( \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{1}{27})
- (\left( \frac{2}{3} \right)^4 = \frac{16}{81})
Теперь окончательно подставим:
[
P(X = 3) = 35 \cdot \frac{1}{27} \cdot \frac{16}{81}
]
[
P(X = 3) = 35 \cdot \frac{16}{2187}
]
[
P(X = 3) = \frac{560}{2187}
]
Таким образом, вероятность того, что стрелок попадет по мишени ровно 3 раза из 7 выстрелов, составляет ( \frac{560}{2187} ) или примерно 0.256 (25.6%).
Вот и все! Если у тебя остались вопросы по расчетам или заданию, не стесняйся спрашивать!
