Найди сумму первых девяти членов арифметической прогрессии: −103 ; −69 ; ...
Для того чтобы найти сумму первых девяти членов арифметической прогрессии, давайте сначала разберёмся с тем, что такое арифметическая прогрессия и как её элементы связаны между собой.
Шаг 1: Определение арифметической прогрессии
Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый последующий член получается путём добавления постоянной разности (d) к предыдущему.
Шаг 2: Выделение данных
У нас есть два первых члена прогрессии:
- \( a_1 = -103 \) (первый член)
- \( a_2 = -69 \) (второй член)
Шаг 3: Найти разность прогрессии
Чтобы найти разность \( d \), используем формулу: \[ d = a_2 - a_1 \] Подставим значения: \[ d = -69 - (-103) = -69 + 103 = 34 \] Теперь мы знаем, что разность арифметической прогрессии \( d = 34 \).
Шаг 4: Формула для n-го члена прогрессии
n-й член арифметической прогрессии можно найти по формуле: \[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \]
Шаг 5: Находим первые девять членов прогрессии
Теперь можем найти первые девять членов:
- \( a_1 = -103 \)
- \( a_2 = a_1 + d = -103 + 34 = -69 \)
- \( a_3 = a_2 + d = -69 + 34 = -35 \)
- \( a_4 = a_3 + d = -35 + 34 = -1 \)
- \( a_5 = a_4 + d = -1 + 34 = 33 \)
- \( a_6 = a_5 + d = 33 + 34 = 67 \)
- \( a_7 = a_6 + d = 67 + 34 = 101 \)
- \( a_8 = a_7 + d = 101 + 34 = 135 \)
- \( a_9 = a_8 + d = 135 + 34 = 169 \)
Таким образом, первые девять членов:
- \( a_1 = -103 \)
- \( a_2 = -69 \)
- \( a_3 = -35 \)
- \( a_4 = -1 \)
- \( a_5 = 33 \)
- \( a_6 = 67 \)
- \( a_7 = 101 \)
- \( a_8 = 135 \)
- \( a_9 = 169 \)
Шаг 6: Сумма первых девяти членов
Сумму первых n членов арифметической прогрессии можно найти по формуле: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \] В нашем случае \( n = 9 \) и \( a_n = 169 \): \[ S_9 = \frac{9}{2} \cdot (-103 + 169) \] Сначала посчитаем сумму \( a_1 + a_n \): \[ -103 + 169 = 66 \] Теперь подставим в формулу суммы: \[ S_9 = \frac{9}{2} \cdot 66 = 9 \cdot 33 = 297 \]
Ответ
Сумма первых девяти членов данной арифметической прогрессии составляет 297.
