Реши номер 351

Чтобы решить задачу 351 из указанного учебника, выполним следующие шаги:

Задача:

Постройте графики функций и найдите координаты точек пересечения, если они существуют:

1. \( y = |x - 2| \)
2. \( y = x^2 - 4 \)

Решение:

1. Построение графиков:

a) График функции \( y = |x - 2| \):

• Это модульная функция, имеющая форму галочки.
• Вершина (точка изгиба) находится в точке \( x = 2 \), так как сдвиг происходит на 2 единицы вправо относительно графика \( y = |x| \).
• Для \( x < 2 \): \( y = -(x - 2) = -x + 2 \).
• Для \( x \geq 2 \): \( y = x - 2 \).

b) График функции \( y = x^2 - 4 \):

• Это парабола с вершиной в точке \( (0, -4) \).
• Парабола направлена вверх, так как коэффициент при \( x^2 \) положительный.
• Вертикальный сдвиг вниз на 4 единицы от стандартной параболы \( y = x^2 \).

2. Найдем точки пересечения графиков:

Для нахождения точек пересечения, нужно решить уравнение: \[ |x - 2| = x^2 - 4 \]

Рассмотрим два случая для модуля:

a) \( x - 2 \geq 0 \) (то есть \( x \geq 2 \)):

\[ x - 2 = x^2 - 4 \]

Переносим все члены в одну сторону: \[ x^2 - x - 2 = 0 \]

Решим квадратное уравнение: \[ (x - 2)(x + 1) = 0 \]

Отсюда \( x = 2 \) или \( x = -1 \). Однако \( x = -1 \) не подходит, так как \( x \geq 2 \).

Подставляем \( x = 2 \) в одно из уравнений: \[ y = |2 - 2| = 0 \]

Точка пересечения: \( (2, 0) \).

b) \( x - 2 < 0 \) (то есть \( x < 2 \)):

\[ -(x - 2) = x^2 - 4 \] \[ -x + 2 = x^2 - 4 \]

Переносим все члены в одну сторону: \[ x^2 + x - 6 = 0 \]

Решим квадратное уравнение: \[ (x - 2)(x + 3) = 0 \]

Отсюда \( x = 2 \) или \( x = -3 \). Комбинация \( x = 2 \) не подходит, так как \( x < 2 \).

Подставляем \( x = -3 \) в одно из уравнений: \[ y = |(-3) - 2| = 5 \]

Точка пересечения: \( (-3, 5) \).

Итог:

Точки пересечения графиков:

1. \( (2, 0) \)
2. \( (-3, 5) \)

Таким образом, графики пересекаются в этих двух точках.