Реши номер 351

Чтобы решить задачу 351 из указанного учебника, выполним следующие шаги: ### Задача: Постройте графики функций и найдите координаты точек пересечения, если они существуют: 1. \( y = |x - 2| \) 2. \( y = x^2 - 4 \) ### Решение: #### 1. Построение графиков: **a) График функции \( y = |x - 2| \):** - Это модульная функция, имеющая форму галочки. - Вершина (точка изгиба) находится в точке \( x = 2 \), так как сдвиг происходит на 2 единицы вправо относительно графика \( y = |x| \). - Для \( x < 2 \): \( y = -(x - 2) = -x + 2 \). - Для \( x \geq 2 \): \( y = x - 2 \). **b) График функции \( y = x^2 - 4 \):** - Это парабола с вершиной в точке \( (0, -4) \). - Парабола направлена вверх, так как коэффициент при \( x^2 \) положительный. - Вертикальный сдвиг вниз на 4 единицы от стандартной параболы \( y = x^2 \). #### 2. Найдем точки пересечения графиков: Для нахождения точек пересечения, нужно решить уравнение: \[ |x - 2| = x^2 - 4 \] Рассмотрим два случая для модуля: **a) \( x - 2 \geq 0 \) (то есть \( x \geq 2 \)):** \[ x - 2 = x^2 - 4 \] Переносим все члены в одну сторону: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ (x - 2)(x + 1) = 0 \] Отсюда \( x = 2 \) или \( x = -1 \). Однако \( x = -1 \) не подходит, так как \( x \geq 2 \). Подставляем \( x = 2 \) в одно из уравнений: \[ y = |2 - 2| = 0 \] Точка пересечения: \( (2, 0) \). **b) \( x - 2 < 0 \) (то есть \( x < 2 \)):** \[ -(x - 2) = x^2 - 4 \] \[ -x + 2 = x^2 - 4 \] Переносим все члены в одну сторону: \[ x^2 + x - 6 = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ (x - 2)(x + 3) = 0 \] Отсюда \( x = 2 \) или \( x = -3 \). Комбинация \( x = 2 \) не подходит, так как \( x < 2 \). Подставляем \( x = -3 \) в одно из уравнений: \[ y = |(-3) - 2| = 5 \] Точка пересечения: \( (-3, 5) \). ### Итог: Точки пересечения графиков: 1. \( (2, 0) \) 2. \( (-3, 5) \) Таким образом, графики пересекаются в этих двух точках.