Реши

Давайте решим каждую задачу из предоставленного задания шаг за шагом.

1. (1) Вычислите:

   • \( C_4^3 \): Это биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле: \[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Подставляем значения \( n = 4 \) и \( k = 3 \): \[ C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times 1} = \frac{24}{6} = 4 \]

   • \( C_8^4 \): Используем ту же формулу: \[ C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{1680}{24} = 70 \]

   • \( C_8^6 \): Помните, что \( C_8^6 = C_8^2 \), поскольку \( C_n^k = C_n^{n-k} \). \[ C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28 \]

2. (2) В руководители предприятия стоит из 6 автомобилей. Сколько у него есть способов командировать 6 автомобилей в 6 разных городов?

   • Для назначения автомобилей в разные города используется перестановка: \[ P_6 = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \]

3. (3) Сколько трехзначных чисел можно записать, используя цифры 1, 2, 3, 7, 8, 9, так чтобы цифры в записи числа не повторялись?

   • Выбираем 3 цифры из 6 без повторений и с учетом порядка. Это перестановка: \[ P_6^3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{1} = 120 \]

4. (4) В классе учится 15 мальчиков и 12 девочек. В какое количество способов можно создать группу из 3 мальчиков и 2 девочек?

   • Для мальчиков используем сочетание: \[ C_{15}^3 = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455 \]
   • Для девочек аналогично: \[ C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66 \]
   • Общее количество способов создать группу: \[ 455 \times 66 = 30030 \]

5. (5) В состав научной группы входит 12 членов. Сколько существует других вариантов выбора председателя, секретаря и казначея?

   • Назначаем трех конкретных членов на три конкретные позиции, это перестановка: \[ P_{12}^3 = \frac{12!}{(12-3)!} = 12 \times 11 \times 10 = 1320 \]

6. (6) В поезде три вагона плацкартного типа. Сколько разных способов можно рассадить по 10 в каждый вагон, если всего 30 человек?

   • Это задача о выборе 10 человек для одного вагона, потом оставшихся из оставшихся 20 для второго вагона: \[ C_{30}^{10} \times C_{20}^{10} = \frac{30!}{10! \times 20!} \times \frac{20!}{10! \times 10!} = 3, \; 009, \; 249, \; 490 \]

Это шаги и объяснения к решению задач.