Для решения этой задачи мы будем использовать свойства корней квадратного уравнения.
Дано уравнение:
[ x^2 + bx + 15 = 0 ]
У нас есть один корень: ( x_1 = 5 ). Нам нужно найти второй корень ( x_2 ) и значение коэффициента ( b ).
Шаг 1: Применение формулы Viète
Согласно теореме Виета, для квадратного уравнения вида ( ax^2 + bx + c = 0 ) со значениями корней ( x_1 ) и ( x_2 ), следующие соотношения справедливы:
Сумма корней:
[
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}
]
Произведение корней:
[
x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}
]
В нашем уравнении ( a = 1 ), ( b = b ), ( c = 15 ). Следовательно, формулы становятся:
Сумма:
[
5 + x_2 = -b
]
Произведение:
[
5 \cdot x_2 = 15
]
Шаг 2: Находим ( x_2 )
Теперь решим второе уравнение для нахождения второго корня ( x_2 ):
[
5 \cdot x_2 = 15
]
Разделим обе стороны на 5:
[
x_2 = \frac{15}{5} = 3
]
Теперь мы знаем второй корень: ( x_2 = 3 ).
Шаг 3: Нахождение ( b )
Теперь воспользуемся первым уравнением, чтобы найти ( b ):
[
5 + x_2 = -b
]
Подставляем ( x_2 = 3 ):
[
5 + 3 = -b
]
[
8 = -b
]
Отсюда находим ( b ):
[
b = -8
]
Итог
Таким образом, мы нашли:
- Значение второго корня: ( x_2 = 3 )
- Значение коэффициента ( b = -8 )
Эти значения могут быть подставлены обратно в уравнение для проверки:
[
x^2 - 8x + 15 = 0
]
Корни данного уравнения: ( x_1 = 5 ), ( x_2 = 3 ) (что и нашло подтверждение).
